ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 850: Задачи повышенной трудности

Для решения задачи о количестве корней биквадратного уравнения x⁴+ax²+a-1=0 применим метод замены переменной. Пусть t=x², где t≥0. Тогда исходное уравнение сводится к квадратному относительно t: t²+at+(a-1)=0

Проанализируем дискриминант этого квадратного уравнения: D=a²-4(a-1)=a²-4a+4=(a-2)² Так как (a-2)²≥0 для любого a, корни существуют всегда. Найдём их по формуле: t_1,2=-a±(a-2)²/2=-a±|a-2|/2 Заметим, что сумма коэффициентов при t² и свободном члене равна 1+(a-1)=a, а коэффициент при t равен a. Если подставить t=1, получаем 1+a+a-1=2a, что не тождественно нулю. Однако, если разложить на множители через теорему Виета или подбором, видно, что один из корней всегда равен 1. Проверим: 1²+a(1)+a-1=2a. Это верно только при a=0. Давайте решим точнее через факторизацию или свойства корней.

Вернёмся к формулам корней. Рассмотрим два случая раскрытия модуля |a-2|. Случай 1: a≥2. Тогда |a-2|=a-2. t₁=-a+a-2/2=-1 t₂=-a-(a-2)/2=-2a+2/2=1-a Так как t=x²≥0, корень t₁=-1 не даёт действительных корней для x. Корень t₂=1-a. При a>2, 1-a<0, значит, нет ни одного положительного t, и уравнение не имеет корней (0 корней). При a=2, t₂=-1, тоже нет корней. Таким образом, при a≥2 количество корней равно 0. Случай 2: a<2. Тогда |a-2|=-(a-2)=2-a. t₁=-a+2-a/2=2-2a/2=1-a t₂=-a-(2-a)/2=-2/2=-1 Здесь снова t₂=-1 не подходит (t≥0). Остаётся единственный кандидат t₁=1-a. Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня, необходимо, чтобы значение t₁ было строго положительным (t₁>0), так как каждому положительному t соответствуют два различных значения x=±t. Если t₁=0, то будет один корень x=0. Если t₁<0, корней не будет. Условие t₁>0 означает: 1-a>0impliesa<1 При этом условии мы также должны убедиться, что a<2, что автоматически выполняется, если a<1.

Проверим граничные случаи и промежуточные значения. Если a=1, то t₁=0. Уравнение принимает вид x⁴+x²=0⇒x²(x²+1)=0. Единственный действительный корень x=0. Количество корней — 1. Если a<1, например a=0, уравнение x⁴-1=0⇒x²=1⇒x=±1. Два корня. Если 1<a<2, например a=1.5, то t₁=1-1.5=-0.5<0. Корней нет. Таким образом, ровно два различных корня возникают только тогда, когда единственный допустимый корень заменённого уравнения t является положительным числом.