ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 853: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Кирилл Панов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Решить систему уравнений: x3-y3=19(x-y), x3+y3=7(x+y).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения системы уравнений воспользуемся формулами разности и суммы кубов. Исходная система имеет вид:
{nx3-y3=19(x-y)x3+y3=7(x+y)План решения:
- Разложим левые части на множители.
- Рассмотрим случаи, когда x-y=0 или x+y=0, так как деление на ноль невозможно.
- В остальных случаях сократим уравнения и получим систему линейных уравнений относительно x и y.
Вычисление:
Применим формулы: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) и a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
Первое уравнение:
(x-y)(x2+xy+y2)=19(x-y) (x-y)(x2+xy+y2-19)=0Отсюда следует два случая: случай 1) x-y=0 или случай 2) x2+xy+y2=19.
Второе уравнение:
(x+y)(x2-xy+y2)=7(x+y) (x+y)(x2-xy+y2-7)=0Отсюда также два случая: случай А) x+y=0 или случай Б) x2-xy+y2=7.
Теперь рассмотрим комбинации этих случаев.
Комбинация 1: x-y=0 и x+y=0
Если x=y и x=-y, то x=x и x=-x⇒2x=0⇒x=0. Тогда y=0. Проверка: 03-03=0,19(0)=0; 03+03=0,7(0)=0. Подходит. Ответ: (0;0).
Комбинация 2: x-y=0 и x2-xy+y2=7
Так как x=y, подставим во второе условие: x2-x·x+x2=7⇒x2=7⇒x=±7. Тогда y=±7 (знаки совпадают). Ответы: (7;7) и (-7;-7).
Комбинация 3: x2+xy+y2=19 и x+y=0
Так как y=-x, подставим в первое условие: x2+x(-x)+(-x)2=19⇒x2-x2+x2=19⇒x2=19⇒x=±19. Тогда y=∓19. Ответы: (19;-19) и (-19;19).
Комбинация 4: x2+xy+y2=19 и x2-xy+y2=7
Сложим эти два уравнения: (x2+xy+y2)+(x2-xy+y2)=19+7 2x2+2y2=26⇒x2+y2=13
Вычтем из первого уравнения второе: (x2+xy+y2)-(x2-xy+y2)=19-7 2xy=12⇒xy=6
Мы получили новую систему: {nx2+y2=13xy=6 Из второго уравнения выразим y=6/x и подставим в первое: x2+(6/x)2=13 x2+36/x2=13 Умножим на x2 (при x≠0): x4-13x2+36=0 Сделаем замену t=x2, где t>0: t2-13t+36=0 По теореме Виета корни: t1=4,t2=9. Если x2=4, то x=±2. При x=2: y=6/2=3. Пара (2;3). При x=-2: y=6/(-2)=-3. Пара (-2;-3). Если x2=9, то x=±3. При x=3: y=6/3=2. Пара (3;2). При x=-3: y=6/(-3)=-2. Пара (-3;-2).
Проверка:
Подставим пару (2;3) в исходную систему: 1) 23-33=8-27=-19. Правая часть: 19(2-3)=19(-1)=-19. Верно. 2) 23+33=8+27=35. Правая часть: 7(2+3)=7(5)=35. Верно. Аналогично проверяются остальные пары симметричностью знаков и значений.
(0; 0), (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2), (\sqrt{7}; \sqrt{7}), (-\sqrt{7}; -\sqrt{7}), (\sqrt{19}; -\sqrt{19}), (-\sqrt{19}; \sqrt{19})
Задача требует внимательного рассмотрения всех возможных случаев при разложении на множители, чтобы не потерять решения, соответствующие нулям в скобках.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 853 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 853?
Краткий ответ: (0; 0), (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2), (√7; √7), (-√7; -√7), (√19; -√19), (-√19; √19).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.