ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 32.3: Примеры решения задач по теме «первая космическая скорость»

План решения.

Для движения планет по круговым орбитам вокруг Солнца можно использовать закон всемирного тяготения и второй закон Ньютона. Сила притяжения со стороны Солнца обеспечивает центростремительное ускорение планеты. Запишем уравнение динамики для произвольной планеты массы m, находящейся на расстоянии R от Солнца с линейной скоростью v:

где G — гравитационная постоянная, M_Солнца — масса Солнца. После сокращения массы планеты m и одного радиуса R получаем выражение для скорости:

Из этой формулы видно, что скорость планеты обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния до Солнца: v∼1/R. Это означает, что отношение скоростей двух планет равно обратному отношению квадратных корней из их средних расстояний до Солнца. Мы можем составить пропорцию между скоростью Земли (v_З) и скоростью Урана (v_У), используя известные нам данные о расстояниях (R_З и R_У).

Вычисление.

Дано:

• R_У =2875,03 млн км;
• R_З =149,6 млн км;
• v_З =30 км/с.

Найти: v_У.

Запишем соотношение скоростей:

Отсюда выразим искомую скорость Урана:

Подставим числовые значения. Поскольку расстояние входит в формулу как отношение, единицы измерения (млн км) сокращаются, поэтому переводить их в метры не обязательно, если ответ требуется в км/с или мы будем аккуратно работать с показателями степени. Однако ключ ответа дан в метрах, что странно для скорости (обычно скорость измеряется в м/с или км/с). Проверим размерность ключа: 1,6·10¹¹ м — это длина, а не скорость. Вероятно, в ключе опечатка, и имелось в виду значение в других единицах или другая величина. Но давайте сначала посчитаем физически правильную скорость.

Рассчитаем отношение расстояний:

Извлечём квадратный корень:

Теперь найдём скорость Урана:

Переведём результат в метры в секунду (СИ):

Обратим внимание на предоставленный «ключ»: 1,6·10¹¹ м. Это число очень близко к значению 1,6·10¹¹ метров , что является порядком величины расстояния от Земли до Луны или чем-то подобным, но никак не скоростью. Также возможно, что в условии задачи подразумевалось найти не скорость, а период обращения? Период T=2πR/v. Для Урана T≈84 года. В секундах это 84·365·24·3600/1≈2,65·10⁹ с. Тоже не совпадает.

Давайте перепроверим расчёт через третий закон Кеплера напрямую, чтобы убедиться в корректности метода. T²∼R³. v=2πR/T∼R/R³=1/R. Метод верен.

Возможно, в ключе ошибка в единицах измерения или в самой цифре. Если предположить, что вопрос был про расстояние в метрах, то R_У =2875,03·10⁶ км =2,875·10¹² м. Не подходит.

Однако, есть вероятность, что задача требует найти скорость в м/с, а ключ содержит ошибку в показателе степени или единице. Физически правильный ответ для средней линейной скорости Урана составляет около 6,8 км/с.

Но давайте посмотрим внимательнее на числа. Может быть, нужно было найти что-то другое? Нет, условие чёткое: «Найти среднюю линейную скорость».

Если мы проигнорируем странный ключ (так как он имеет размерность длины, а не скорости, и численно не соответствует ни одной стандартной характеристике орбиты Урана в этих единицах), то мы дадим правильный физический ответ.

Ответ: v_У ≈6,84 км/с.

Проверка.

Чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется. Уран находится значительно дальше Земли (2875/149,6≈19 раз дальше). Следовательно, его скорость должна быть примерно в 19≈4,3 раза меньше земной. 30/4,3≈7 км/с. Наше значение 6,84 км/с хорошо согласуется с оценкой. Значение из ключа 1,6·10¹¹ м не может быть скоростью, так как это огромная длина (более 100 а.е.), и даже если считать это числом в м/с, оно абсурдно велико (в миллионы раз быстрее света). Поэтому считаем ключ ошибочным по размеруности и величине, и приводим корректное решение.