ГДЗ по физике, 10 класс, Мякишев, номер 60.6: Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

План решения:

Чтобы понять происхождение множителя 1/3 в основном уравнении молекулярно-кинетической теории (МКТ), необходимо рассмотреть движение идеального газа с точки зрения статистики и геометрии пространства. Мы будем исходить из того, что газ состоит из огромного числа хаотично движущихся частиц, а давление на стенку сосуда создается ударами этих частиц. Ключевой момент — переход от одномерного движения к трехмерному.

Вычисление и логический вывод:

Рассмотрим одну молекулу массой m, летящую со скоростью v. Давление определяется силой удара о стенку, которая перпендикулярна направлению движения. Если бы все молекулы двигались строго вдоль одной оси (например, оси x), то весь их импульс уходил бы на удары о стенки, перпендикулярные этой оси. Однако в реальности движение хаотично.

Введем проекции скорости на три взаимно перпендикулярные оси: v_x, v_y и v_z. По теореме Пифагора для квадрата полной скорости справедливо равенство:

Так как движение хаотично и равновероятно по всем направлениям, то средние значения квадратов проекций скоростей равны между собой:

Следовательно, квадрат средней скорости можно записать как:

При выводе формулы давления мы учитываем только ту часть импульса, которая направлена перпендикулярно стенке (то есть компоненту v_x). Именно поэтому при переходе от общей кинетической энергии или полного квадрата скорости к вкладу в давление появляется коэффициент 1/3, отражающий тот факт, что лишь треть «энергии движения» (в среднем) приходится на каждое из трех пространственных направлений.

Проверка результата:

Если бы движение было двумерным (плоскость), множитель был бы 1/2. Если бы одномерным — 1. Для реального трехмерного пространства значение 1/3 является прямым следствием симметрии пространства и изотропности распределения скоростей молекул. Это подтверждает корректность вывода основного уравнения МКТ: p=1/3nmv².