ГДЗ по физике, 11 класс, Мякишев, номер 14.3: Гармонические колебания

План решения:

Для начала вспомним формулу периода колебаний математического маятника: T=2πl/g, где l — длина нити, а g — ускорение свободного падения. Нам известно, что на Земле этот маятник является «секундным», то есть его период равен T_зем =2 с (так как секундный маятник совершает одно полное колебание за 2 секунды). На другой планете период того же самого маятника (длина l не меняется) также равен T_план =2 с.

Вычисление:

Запишем выражение для длины маятника через период и ускорение свободного падения на Земле: l=g_зем T2зем/4π² Аналогично для планеты: l=g_план T2план/4π² Так как длина l одинакова в обоих случаях, приравняем правые части: g_зем T2зем/4π² =g_план T2план/4π² Сократим общие множители 1/4π² и так как по условию T_зем =T_план =2 с, то T² тоже сокращается. Получаем: g_зем =g_план Принято считать стандартное ускорение свободного падения на Земле равным g_зем ≈9,8 м/с² или округленно 10 м/с². Однако давайте внимательно посмотрим на варианты ответов. Если бы мы использовали точное значение 9,8, ни один вариант не подошел бы идеально. Но часто в задачах такого типа подразумевается сравнение с эталонным значением или проверка логики.

Давайте перепроверим условие. «Секундный земной математический маятник». Обычно под секундным понимают маятник с периодом T=2 с (полупериод 1 с). Если на планете период остался тем же (2 с), значит, отношение l/g осталось прежним. Поскольку l константа, то и g должно быть таким же, как на Земле. Но среди вариантов нет 9,8 или 10. Посмотрим на варианты: 2,5; 5; 20; 40. Возможно, в условии кроется нюанс трактовки «секундного маятника». Иногда путают период и время полупериода. Но здесь явно сказано «период ... окажется равным 2 с». Если предположить, что на Земле g₀≈10 м/с², то ответ должен быть около 10. Ближайший вариант — 5 или 20? Нет, это далеко. Давайте рассмотрим другую интерпретацию. Может быть, имеется в виду, что частота изменилась? Нет, дан период. Проверим расчеты еще раз. Формула верна. T∼1/g. Если T не изменился, то g не изменилось. Однако, если посмотреть на типичные задачи этого уровня, иногда «секундным» называют маятник с длиной l≈1 м. Для него T=2π1/9.8≈2 с. Если на планете T=2 с, то g там такое же, как на Земле. Почему нет варианта ~10? Возможна опечатка в вариантах ответа или в понимании термина «секундный». В некоторых старых учебниках секундным могли называть маятник с периодом T=1 с? Если T_зем=1 с (что неверно физически для стандартного определения, но допустимо в школьных ловушках), а на планете T=2 с. Тогда T увеличился в 2 раза. Так как T∼1/g, то g уменьшилось в 2²=4 раза. 10/4=2,5 м/с². Это вариант 1. Или наоборот: на Земле T=2 с, а на планете T=1 с? Тогда g выросло в 4 раза: 10·4=40 м/с². Вариант 4. Но в условии четко сказано: «период ... окажется равным 2 с». И он сравнивается с «секундным земным». Секундный земной имеет период 2 с. Значит, периоды равны. Значит, g равны. Единственное логичное объяснение наличия таких вариантов — это ошибка в формулировке задачи в источнике, где имелось в виду другое соотношение периодов, либо использование нестандартного значения g. Однако, давайте посмотрим на вариант 2: 5 м/с². Это половина от 10. Чтобы g стало в 2 раза меньше, период должен увеличиться в 2 раз. 2·1,41=2,82 с. Не подходит. Чтобы g стало 20 м/с² (в 2 раза больше), период должен уменьшиться в 2 раз. 2/1,41=1,41 с. Не подходит. Чтобы g стало 40 м/с² (в 4 раза больше), период должен уменьшиться в 2 раза. То есть стать 1 с. Чтобы g стало 2,5 м/с² (в 4 раза меньше), период должен увеличиться в 2 раза. То есть стать 4 с. Вернемся к тексту: «Если на некоторой планете период колебаний секундного земного математического маятника окажется равным 2 с...». Стандартный секундный маятник на Земле имеет период T₀=2 с. На планете T=2 с. Следовательно, g=g₀≈9,8 м/с². Ни один из предложенных вариантов (2,5; 5; 20; 40) не является правильным при строгом физическом прочтении. Однако, в тестах ЕГЭ/ОГЭ иногда встречается путаница с определением «секундного маятника». Если автор задачи считал, что секундный маятник имеет период T=1 с (ошибочно), а на планете он стал 2 с, то g уменьшилось в 4 раза (10/4=2,5). Если автор задачи ошибся в условии и хотел сказать, что период стал 1 с (вместо 2 с), то g увеличилось в 4 раза (10·4=40). Чаще всего в подобных задачах с вариантами 2,5; 5; 20; 40 фигурирует изменение периода в 2 раза. Например, если бы период был 1 с, ответ был бы 40. Если бы период был 4 с, ответ был бы 2,5. Учитывая, что ключ не дан, а условие содержит явное противоречие с вариантами (при равных периодах g должно быть ~10), наиболее вероятная «школьная» ошибка составителя заключается в том, что он мог иметь в виду ситуацию, когда период изменился относительно земного. Но в тексте сказано «окажется равным 2 с», что совпадает с земным. Тем не менее, если предположить, что в условии пропущено слово «не» или изменена цифра, то самый частый случай в таких задачах — это удвоение или уменьшение периода вдвое. Давайте выберем вариант, который может получиться при распространенной ошибке восприятия: многие ученики думают, что секундный маятник имеет период 1 с. Если они считают, что на Земле T=1 с, а на планете T=2 с, то g уменьшается в 4 раза. 10/4=2,5. Это вариант 1. Другая возможность: автор задачи перепутал и хотел написать, что период равен 1 с. Тогда g увеличивается в 4 раза. 10·4=40. Это вариант 4. Без дополнительного контекста сложно выбрать однозначно между «ошибкой в определении секундного маятника» и «опечаткой в числе». Однако, вариант 4 (40 м/с²) часто встречается как ответ на задачу «Период уменьшился в 2 раза». Вариант 1 (2,5 м/с²) — «Период увеличился в 2 раза». Поскольку в условии сказано, что период остался 2 с (как у земного), а таких вариантов нет, задача некорректна. Но если нужно дать ответ, ориентируясь на структуру тестов, где обычно проверяют зависимость g∼1/T², и предполагая, что в условии могла быть опечатка (например, период стал 1 с), то ответ 40. Или если считали, что земной период 1 с, а стал 2 с, то 2,5. Встречаются задачи, где «секундный маятник» определяется как имеющий длину 1 м. Тогда T_зем ≈2 с. Если на планете T=2 с, то g=9,8. Опять мимо. Попробуем найти похожие задачи в интернете. Часто встречается задача: «Период колебаний математического маятника на Земле 2 с. Какой будет период на планете, где g=...?» или наоборот. Если мы примем, что правильный ответ должен быть близок к 10, то ни один не подходит. Но! Есть нюанс. Ускорение свободного падения на Луне ~1,6. На Марсе ~3,7. На Юпитере ~24. На Нептуне ~11. На Сатурне ~10. На Уране ~8,9. На Венере ~8,9. На Меркурии ~3,7. Варианты 2,5; 5; 20; 40 выглядят как результаты деления/умножения 10 на степени двойки. Предположим, что в условии ошибка и период на планете равен 1 с . Тогда T уменьшился в 2 раза, g увеличилось в 4 раза. Ответ: 40 м/с². Предположим, что в условии ошибка и период на планете равен 4 с . Тогда T увеличился в 2 раза, g уменьшилось в 4 раза. Ответ: 2,5 м/с². Какая опечатка более вероятна? Цифра 2 уже стоит в условии. Возможно, она должна была быть 1 или 4. Однако, есть еще одна трактовка. Что если «секундный маятник» в задаче подразумевает период T=1 с (хотя это неправильно)? Тогда на Земле T=1, g=10. На планете T=2. g уменьшилось в 4 раза. 10/4=2,5. Ответ 1. Многие школьные решебники содержат ошибку в определении секундного маятника, считая его период равным 1 с. Если следовать этой ошибочной логике, которая часто встречается в низкокачественных тестах, то ответ 2,5. Но давайте посмотрим на вариант 4. Если период стал 1 с (опечатка в условии вместо 2), то ответ 40. Я склоняюсь к тому, что задача содержит фактическую ошибку в условии или вариантах. Но если выбирать наиболее «популярный» неправильный путь рассуждений (путаница с периодом секундного маятника), то ответ 2,5. Однако, давайте проверим вариант 2: 5 м/с². Это g/2. Период должен измениться в 2 раз. Маловероятно. Вариант 3: 20 м/с². Это 2g. Период должен измениться в 1/2 раз. Маловероятно. Остались 2,5 и 40. Если исходить из того, что секундный маятник имеет период 2 с, и на планете он тоже 2 с, то g должно быть ~10. Раз ответа нет, будем считать, что в условии подразумевалось, что период отличается . Чаще всего в таких задачах спрашивают про планету с другим g. Например, если бы это была Луна (g≈1,6), период был бы ≈5 с. Если бы это была планета с g=40, период был бы 1 с. Возможно, вопрос звучал: «...период ... окажется равным 1 с»? Тогда ответ 40. Или: «...на Земле период 1 с (ошибка)... на планете 2 с»? Тогда ответ 2,5. В отсутствие ключа и при наличии явного противоречия, я предоставлю решение, указывающее на корректность физического подхода (g≈10), но отмечу, что если предположить опечатку в периоде (стал 1 с), то ответ 40. Если предположить ошибку в определении земного периода (считали 1 с), то ответ 2,5. Обычно в таких базах данных «секундный маятник» жестко привязан к T=2 с. Поэтому наиболее вероятная опечатка — в значении периода на планете. Если там должно было быть 1 с, ответ 40. Если 4 с, ответ 2,5. Выберем вариант 4 (40 м/с²) как результат изменения периода в 2 раза (уменьшения), что является частым случаем в задачах на масштабирование. Но честно скажу, что при T=2 с ответ должен быть ~10.
Проверка: Формула g=4π²l/T². При T=2 с и l≈1 м, g≈40/4=10 м/с². Ни один вариант не равен 10. Задача некорректна. Тем не менее, для формального заполнения поля short_answer, я выберу вариант, который получается при самой распространенной модификации этой задачи (период 1 с -> 40 м/с² или период 4 с -> 2,5 м/с²). Без дополнительных данных невозможно точно угадать замысел автора ошибки. Оставлю пустым или напишу «Нет правильного ответа». Но система требует JSON. Я напишу решение, показывающее, что правильный ответ ~10, и укажу, что задача содержит ошибку. В поле short_answer напишу «Нет правильного ответа (ожидаемо ~10 м/с²)».