ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 228: Геометрическое тело

План решения.

Для нахождения площади грани CC₁B₁B необходимо определить её вид и размеры. Так как призма наклонная, боковые грани являются параллелограммами. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. В качестве основания возьмём ребро BC. Нам нужно найти длину бокового ребра BB₁ (или CC₁) и угол наклона этого ребра к плоскости основания, либо проекцию высоты грани на плоскость основания. Однако более простой путь: площадь грани можно вычислить как произведение длины ребра BC на расстояние между прямыми BC и B₁C₁. Но так как грань — это параллелограмм, её площадь также равна BC·h_гран, где h_гран — высота этого параллелограмма. Или проще: спроектируем вершину A₁ на основание в точку O (центр тяжести). Высота призмы H=A₁O. Зная угол наклона бокового ребра к основанию (45^°), мы можем найти длину бокового ребра L. Далее, чтобы найти площадь грани CC₁B₁B, нам нужно знать не только сторону BC, но и «высоту» этой грани относительно стороны BC. Эта высота связана с расстоянием от точки O до прямой BC и высотой призмы.

Вычисления.

1. Рассмотрим основание ABC. Это равнобедренный треугольник с боковыми сторонами AB=AC=13 см и основанием BC=10 см. Проведём медиану AM к стороне BC. Так как треугольник равнобедренный, AM⊥BC. В прямоугольном треугольнике ABM: BM=BC/2=5 см. По теореме Пифагора найдём медиану AM: AM=AB²-BM²=13²-5²=169-25=144=12 см .
2. Точка O является центром тяжести (пересечением медиан) треугольника ABC. Свойство медиан гласит, что точка пересечения делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, расстояние от точки O до стороны BC (обозначим его d) составляет треть от длины медианы AM: d=OM=1/3AM=1/3·12=4 см . Также найдем расстояние от O до вершины A: AO=2/3AM=2/3·12=8 см .
3. Вершина A₁ проектируется в точку O. Значит, A₁O — это высота призмы H. По условию, боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45^°. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OA (где ∠A₁OA=90^°). Угол между боковым ребром AA₁ и его проекцией AO равен 45^°, то есть ∠A₁AO=45^°. Тогда высота призмы: H=A₁O=AO·tan(45^°)=8·1=8 см . Длина бокового ребра L=AA₁=AO/cos(45^°)=8/2/2=82 см .$ Все боковые рёбра равны, поэтому BB₁=CC₁=82 см.
4. Найдём площадь грани CC₁B₁B. Эта грань является параллелограммом со сторонами BC=10 см и CC₁=82 см. Чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужна высота этого параллелограмма, опущенная из вершины C₁ (или B₁) на прямую BC. Обозначим эту высоту за h_гр. Рассмотрим проекцию грани на плоскость основания. Точка C₁ проектируется в точку C′, такую что вектор CC′=AA₁ (вектор переноса). Но проще использовать координатный метод или геометрическое построение. Пусть K — проекция точки C₁ на прямую BC. Тогда C₁K — искомая высота грани. Точка C₁ получается из C сдвигом на вектор v=AA₁. Проекция вектора AA₁ на плоскость основания — это вектор AO. Длина проекции AO=8 см. Однако, для площади грани удобнее рассмотреть треугольник, образованный высотой грани. Давайте найдем расстояние от точки C₁ до прямой BC. Спроектируем C₁ на плоскость основания в точку P. Так как A₁ проектируется в O, а C₁ получается из A₁ параллельным переносом на вектор AC? Нет, CC₁=AA₁. Значит, проекция C₁ (точка P) такова, что CP=AO. Расстояние от точки P до прямой BC обозначим x. Тогда квадрат расстояния от C₁ до прямой BC будет равен x²+H² (так как C₁P⊥ плоскости основания, а P лежит в ней, и если провести перпендикуляр из P к BC, то по теореме о трёх перпендикулярах наклонная C₁K будет гипотенузой). Но есть более прямой способ через векторное произведение или формулу площади проекции. Площадь проекции грани S_proj на плоскость основания равна S_гран ·cosα, где α — двугранный угол между гранью и основанием. Это сложно. Вернемся к определению высоты грани. Грань BCC₁B₁ — параллелограмм. Его площадь равна длине стороны BC умноженной на расстояние между прямыми BC и B₁C₁. Рассмотрим сечение, перпендикулярное ребру BC. Пусть это сечение проходит через точку M (середину BC). Медиана AM перпендикулярна BC. Значит, плоскость, проходящая через AM и перпендикулярная BC, содержит высоту грани. В этой плоскости лежат точки A,M,O (проекция A₁) и соответствующие им верхние точки. Рассмотрим трапецию (или фигуру) в этой секущей плоскости. Точка M — середина BC. Точка M₁ — середина B₁C₁. Отрезок MM₁ является средней линией грани BCC₁B₁? Нет, MM₁ соединяет середины оснований параллелограмма, значит MM₁ параллельна боковым сторонам BB₁ и CC₁ и равна им по длине. То есть MM₁=82. Но нам нужна высота параллелограмма, опущенная на сторону BC. Обозначим её h_гр. Заметим, что проекция отрезка MM₁ на плоскость основания — это отрезок MO. Длина MO=4 см (как мы нашли ранее, это расстояние от центра тяжести до стороны BC). Высота призмы H=8 см. Отрезок MM₁ соединяет точку M в основании и точку M₁ в верхнем основании. Проекция M₁ на основание — это точка O? Проверим. MM₁=AA₁. Проекция AA₁ на основание — AO. Значит, проекция M₁ на основание — это точка M′ такая, что MM′=AO. Это усложняет дело. Давайте используем другой подход. Площадь грани S=|BC×BB₁|. Введем систему координат. Пусть M(0,0,0) — начало координат. Прямая BC совпадает с осью Ox. Тогда B(-5,0,0), C(5,0,0). Медиана AM лежит на оси Oy. Так как AM=12, то A(0,12,0). Центр тяжести O имеет координаты (0,4,0), так как он лежит на медиане AM на расстоянии 4 от BC (ось Ox). Вершина A₁ проектируется в O, значит A₁(0,4,H). Мы нашли H=8. Значит A₁(0,4,8). Вектор бокового ребра AA₁=A₁-A=(0-0,4-12,8-0)=(0,-8,8). Проверим длину: |AA₁|=0²+(-8)²+8²=64+64=128=82. Совпадает. Проверим угол с основанием: проекция вектора на плоскость z=0 равна (0,-8,0), длина 8. Косинус угла cosφ=8/82=1/2, угол 45^°. Все верно. Теперь найдем площадь грани CC₁B₁B. Она определяется векторами BC и BB₁. BC=C-B=(5-(-5),0-0,0-0)=(10,0,0). BB₁=AA₁=(0,-8,8). Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов: n=BC×BB₁=ijk10000-88 n=i(0·8-0·(-8))-j(10·8-0·0)+k(10·(-8)-0·0) n=0i-80j-80k=(0,-80,-80) Модуль вектора нормали: S=|n|=0²+(-80)²+(-80)²=6400+6400=12800 12800=6400·2=802 см² .

Проверка.

Мы получили ответ 802 см², который совпадает с ключом. Логика решения последовательна: сначала найдены параметры основания и положение центра тяжести, затем через угол наклона ребра определена высота призмы и вектор бокового ребра. Использование векторного произведения позволило точно вычислить площадь грани без необходимости строить дополнительные сечения и искать углы наклона самой грани к основанию. Арифметические действия проверены: 13²-5²=144, 12/3=4, 4·2=8 (высота), векторы составлены верно, детерминант вычислен правильно.