ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 227: Геометрическое тело

План решения.

Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости или двух прямых в пространстве часто используется теорема о трёх перпендикулярах или векторный метод. В данном случае удобнее всего воспользоваться свойствами проекции бокового ребра на основание. Пусть H — проекция точки A₁ на плоскость основания ABC. Так как боковое ребро AA₁ образует равные углы со сторонами AB и AC, то его проекция AH является биссектрисой угла BAC. Поскольку треугольник ABC правильный, биссектриса совпадает с медианой и высотой, проведённой к стороне BC. Это ключевой момент для обоих пунктов задачи.

Вычисление и доказательство.

а) Докажем, что BC⊥AA₁.

Рассмотрим проекцию отрезка AA₁ на плоскость основания. Обозначим проекцию точки A₁ как H. Тогда AH — проекция AA₁ на плоскость ABC. По условию (angleA₁AB=(angleA₁AC. Из равенства наклонных (или через косинусы углов наклона) следует, что их проекции на стороны угла также равны по длине или симметричны относительно биссектрисы. Более строго: если опустить перпендикуляры из точки H на стороны AB и AC, они будут равны, так как наклонные HA к этим сторонам... нет, проще использовать свойство биссектрисы. Точка H лежит на биссектрисе угла A, так как проекции наклонной AA₁ на стороны угла A равны (следствие равенства углов наклона). В правильном треугольнике ABC биссектриса угла A является также высотой, проведённой к стороне BC. Следовательно, AH⊥BC.

По теореме о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной (AH) перпендикулярна прямой в плоскости (BC), то и сама наклонная (AA₁) перпендикулярна этой прямой. Значит, BC⊥AA₁.

б) Докажем, что CC₁B₁B — прямоугольник.

Призма имеет параллельные боковые рёбра, поэтому четырёхугольник CC₁B₁B является параллелограммом (так как BB₁∥CC₁ и BB₁=CC₁). Чтобы доказать, что он прямоугольник, достаточно показать наличие одного прямого угла, например, (angleBCC₁=90^° или (angleCBB₁=90^°.

Из пункта а) мы знаем, что BC⊥AA₁. Так как все боковые рёбра призмы параллельны (AA₁∥BB₁∥CC₁), то перпендикулярность сохраняется для любого из них. Следовательно, BC⊥CC₁.

Таким образом, в параллелограмме CC₁B₁B угол при вершине C (угол между стороной основания BC и боковым ребром CC₁) равен 90^°. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Проверка.

Логика построена верно: равенство углов наклона бокового ребра к сторонам правильного угла основания влечёт за собой то, что проекция ребра лежит на биссектрисе этого угла. В правильном треугольнике биссектриса угла является высотой к противоположной стороне. Теорема о трёх перпендикулярах позволяет перейти от перпендикулярности проекции к перпендикулярности самой наклонной. Далее, используя параллельность боковых рёбер, мы переносим это свойство на другое ребро, доказывая прямоугольность грани.