ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 225: Геометрическое тело

План решения.

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Пусть сторона основания равна a, а высота (боковое ребро) — h. Диагональ призмы BD₁ соединяет вершину нижнего основания с противоположной вершиной верхнего. Нам нужно найти угол между этой диагональю и плоскостью основания ABCD. Обозначим этот угол за β. Также дано, что диагональ образует угол θ=30^o с плоскостью боковой грани. Для связи этих углов выразим проекции диагонали на соответствующие плоскости через размеры призмы.

Вычисление.

1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между самой прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость.

2. Рассмотрим угол с плоскостью боковой грани. Возьмём грань ADD₁A₁. Проекция диагонали BD₁ на эту плоскость — отрезок AD₁. Угол θ=△BD₁A равен 30^o. В прямоугольном треугольнике BAD₁ (угол A прямой, так как BAbotADD₁A₁):

где d — длина диагонали призмы. Отсюда d=a/tan30^o? Нет, синус: d=a/tan(90-30)? Проще через тангенс угла наклона к грани или просто выразим связь сторон. Из △BAD₁: BA=a, AD₁=a/tan30^o=a3. Но AD₁ — это диагональ боковой грани, то есть AD₁=a²+h². Значит:

3. Теперь найдём угол β между диагональю BD₁ и плоскостью основания ABCD. Проекцией диагонали BD₁ на основание является диагональ основания BD. Треугольник BDD₁ прямоугольный (DD₁botABCD). Катеты: DD₁=h, BD=a2 (диагональ квадрата со стороной a).

Тангенс искомого угла β равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

Подставим найденное значение h=a2:

Следовательно, β=45^o.

Проверка.

Если h=a2, то диагональ боковой грани l_side=a²+2a²=a3. Синус угла с боковой гранью: a/a²+l2side=a/a²+3a²=a/2a=1/2, что соответствует углу 30^o. Условие выполнено верно. Ответ совпадает с ключом.