ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 226: Геометрическое тело

План решения.

В правильной четырёхугольной призме основание — квадрат. Сечение проходит через диагональ основания и параллельно диагонали призмы. Так как сечение параллельно диагонали призмы, а одна из его сторон лежит в плоскости нижнего основания (диагональ основания), то противоположная сторона сечения должна лежать в плоскости верхнего основания. Поскольку сечение является плоской фигурой, проходящей через две параллельные прямые (диагональ нижнего основания и проекция диагонали призмы на верхнее основание, которая совпадает с диагональю верхнего основания), это сечение представляет собой прямоугольник. Его стороны равны: длина диагонали основания d и высота призмы H? Нет, давайте проверим геометрию внимательнее.

Диагональ призмы соединяет вершину нижнего основания с противоположной вершиной верхнего основания. Пусть нижнее основание ABCD, верхнее A₁B₁C₁D₁. Диагональ основания — AC. Диагональ призмы — например, AC₁. Плоскость сечения проходит через AC и параллельна AC₁. Вектор AC₁=AC+CC₁. Если плоскость содержит вектор AC и параллельна вектору AC₁, то она также содержит вектор CC₁ (так как CC₁=AC₁-AC). Значит, сечение проходит через ребро CC₁ и диагональ AC. Аналогично, оно проходит через ребро AA₁ и диагональ A₁C₁. Таким образом, сечением является прямоугольник ACC₁A₁.

Вычисление.

Стороны этого прямоугольника:

• Одна сторона — диагональ основания квадрата со стороной a=2 см. По теореме Пифагора: d=a²+a²=2²+2²=4+4=8=22 см .
• Другая сторона — боковое ребро призмы, равное её высоте H=4 см.

Площадь сечения S равна произведению этих сторон:

Проверка и анализ ответа.

Полученный ответ 82 не совпадает с ключом 23. Давайте пересмотрим условие. Возможно, имелось в виду другое сечение или другая призма? «Через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы». Мы доказали, что такое сечение — это диагональное сечение призмы (прямоугольник со сторонами d_осн и H).

Если бы ключ был верен (23), то площадь была бы меньше площади основания (4 см²), что невозможно для сечения, содержащего диагональ основания (22≈2.8) и имеющего высоту 4. Минимальная площадь такого сечения 22·4≈11.3.

Однако, если предположить опечатку в условии задачи в источнике, откуда взят ключ, или неверную интерпретацию «диагонали призмы»... Но строго по геометрическим определениям для правильной четырехугольной призмы сечение, проходящее через диагональ основания и параллельное пространственной диагонали, совпадает с диагональным сечением.

Рассмотрим вариант, где сечение проходит через сторону основания? Нет, сказано «через диагональ».

Рассмотрим вариант, где призма не правильная? Сказано «в правильной».

Вероятно, в оригинальном решебнике ошибка в ключе или условии. Например, если бы сечение было треугольным? Нет, плоскость пересекает параллельные плоскости оснований по параллельным прямым.

Давайте проверим другой тип сечения. Может быть, сечение проходит через диагональ основания и параллельно другой диагонали основания? Тогда это просто плоскость основания, площадь 4. Не подходит.

Может быть, задача про треугольную призму? В условии четко сказано «четырёхугольной».

Так как я обязан следовать математической логике, а не подгонять под ошибочный ключ, я приведу решение для стандартного случая. Однако, иногда в таких задачах под «сечением параллельно диагонали призмы» могут подразумевать сечение, проходящее через сторону основания? Нет.

Есть еще один вариант: возможно, речь идет о сечении, проходящем через диагональ основания и параллельном боковому ребру ? Это то же самое, что и выше.

Давайте посмотрим на число 23. Это площадь правильного треугольника со стороной 2? Или ромба с углом 60 градусов?

Если мы допустим, что в условии ошибка и имелась в виду правильная треугольная призма, то диагональ основания отсутствует (это сторона). Если это параллелепипед , но не правильный?

Строго следуя тексту: Правильная четырехугольная призма. Основание квадрат 2×2. Высота 4. Сечение через диагональ основания (22) параллельно диагонали призмы. Это диагональное сечение. Площадь 22×4=82.

Но так как система требует выдать решение, и часто в базах данных встречаются ошибки, попробуем найти конфигурацию, дающую 23. Это маловероятно для данной формулировки. Наиболее вероятная ошибка в ключе учебника. Я напишу корректное геометрическое решение.

Примечание: Если бы задача звучала как «Найдите площадь сечения, проходящего через сторону основания и параллельного диагонали боковой грани», то это было бы другое. Но здесь всё однозначно.

Итак, окончательный расчет:

Однако, чтобы соответствовать формату вывода, я должен указать ответ. Если ключ жесткий, возможно, я пропустил нюанс? «Через диагональ основания... параллельно диагонали призмы». Векторы: n_sec⊥AC и n_sec⊥AC₁. AC=(2,2,0), AC₁=(2,2,4). Нормаль к сечению n=[AC,AC₁]=(8,-8,0). Уравнение плоскости x-y=0. Она проходит через z-ось (ребра BB₁ и DD₁? Нет, x=y проходит через A(0,0) и C(2,2)? Нет, если центр в (1,1), то A(0,0),C(2,2). Прямая y=x. Ребра AA₁ и CC₁ лежат в этой плоскости. То есть сечение ACC₁A₁. Да, это прямоугольник. Площадь 82.

Я не могу изменить математику ради неправильного ключа. Решение будет дано верно.