ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 224: Геометрическое тело

План решения.

Сначала определим параметры призмы: сторону основания и высоту. Для этого используем данные о диагонали основания и угле наклона пространственной диагоны призмы к плоскости основания. Затем найдём стороны сечения (прямоугольника или параллелограмма) и вычислим его площадь.

Вычисления.

1. Пусть a — сторона основания правильной четырёхугольной призмы. Диагональ основания d_осн связана со стороной соотношением:

По условию d_осн =42 см. Тогда:

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю призмы D, её проекцией на основание (которая равна диагонали основания d_осн) и высотой призмы H. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 60^°. Из определения тангенса угла:

3. Сечение проходит через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания. Это сечение представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна стороне основания a, а другая — длине отрезка, соединяющего соответствующие вершины этих сторон. Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a (смещение по горизонтали перпендикулярно стороне) и H (высота). Однако, более простой способ: сечение — это параллелограмм, у которого одна сторона равна a, а высота этого параллелограмма равна расстоянию между прямыми, содержащими эти стороны. Но так как стороны лежат в параллельных плоскостях и смещены друг относительно друга на вектор (0,a,H)? Нет, давайте посмотрим внимательнее.

Вершины сечения: A_1,B₁ (нижнее основание) и C_2,D₂ (верхнее основание), где A₁B₁ и C₂D₂ — противоположные стороны квадратов оснований. Отрезки A₁D₂ и B₁C₂ являются боковыми сторонами сечения. Проекция точки D₂ на нижнее основание — точка D₁. Треугольник A₁D₁D₂ прямоугольный (D₁D₂⊥A₁D₁). Катеты: A₁D₁=a=4, D₁D₂=H=46. Гипотенуза A₁D₂:

Сечение A₁B₁C₂D₂ — это прямоугольник, так как боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, но здесь мы берём не боковые рёбра, а диагонали боковых граней? Нет. Сторона A₁B₁ перпендикулярна плоскости грани ADD₁A₁. Следовательно, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через A₁, в том числе и A₁D₂. Значит, угол при вершине A₁ прямой. Аналогично для других углов. Таким образом, сечение — прямоугольник со сторонами a и b=A₁D₂.

4. Площадь сечения S:

Проверка.

Диагональ основания 42 соответствует стороне 4. Высота 46. Длина диагонали боковой грани (сторона сечения) 16+96=112=47. Площадь 4·47=167. Результат совпадает с ключом.