ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 13: Примеры задач на построение
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Сформулировать теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.
- Выполнить чертёж и записать данные для доказательства (было/стало).
- Доказать равенство двух треугольников по признаку равенства прямоугольных треугольников или через признак равенства сторон и углов.
- Сделать вывод о свойствах биссектрисы.
Формулировка теоремы:
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Ход доказательства:
Дано: △ABC, где AB=BC (треугольник равнобедренный с основанием AC), BD — биссектриса угла B (∠ABD=∠CBD).
Доказать: BD — медиана (AD=DC) и BD — высота (BD⊥AC).
Рассмотрим два треугольника: △ABD и △CBD.
- AB=CB по условию (боковые стороны равнобедренного треугольника равны).
- BD — общая сторона.
- ∠ABD=∠CBD по условию (BD — биссектриса).
Следовательно, △ABD=△CBD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов:
- AD=CD. Это означает, что точка D делит сторону AC пополам, значит, отрезок BD является медианой .
- ∠ADB=∠CDB. Так как эти углы являются смежными (в сумме составляют 180°), то есть ∠ADB+∠CDB=180°, а они равны, то каждый из них равен 90°: ∠ADB=∠CDB=180°/2=90° Значит, BD⊥AC, то есть отрезок BD является высотой .
Проверка:
Мы использовали только аксиомы и признаки равенства треугольников, изученные в курсе геометрии 7 класса. Логическая цепочка верна: равенство треугольников → равенство сторон (медиана) и равенство углов при основании перпендикуляра (высота). Теорема доказана.
Теорема: Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Доказательство
а) В ΔABD и ΔCBD: AB=CB (условие), BD - общая, ∠ABD=∠CBD (биссектриса).
б) ΔABD = ΔCBD по I признаку.
в) AD=CD => BD - медиана.
г) ∠ADB=∠CDB, а так как они смежные, то ∠ADB=∠CDB=90° => BD ⊥ AC, BD - высота.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 13 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 13?
Краткий ответ: Теорема: Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Доказательство: 1. В ΔABD и ΔCBD: AB=CB (условие), BD - общая, ∠ABD=∠CBD (биссектриса). 2. ΔABD = ΔCBD по I признаку. 3. AD=CD => BD - медиана. 4. ∠ADB=∠CDB, а так как они смежные, то ∠ADB=∠CDB=90° => BD ⊥ AC, BD - высота.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Примеры задач на построение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.