ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 14: Примеры задач на построение

План решения:

В данном задании требуется сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников. Этот признак связывает равенство двух сторон и угла между ними в одном треугольнике с аналогичными элементами другого треугольника. Доказательство строится на методе наложения: мы будем «переносить» один треугольник на другой, опираясь на аксиомы геометрии о возможности откладывания углов и отрезков.

Формулировка теоремы:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, в которых выполнены следующие условия: AB=A₁B_1, AC=A₁C_1, ∠A=∠A_1. Нам нужно доказать, что △ABC=△A₁B₁C₁.

Рассмотрим наложение треугольника ABC на треугольник A₁B₁C₁. Так как по условию ∠A=∠A₁, то при наложении вершина A совпадает с вершиной A₁, а луч AB ляжет на луч A₁B₁. Поскольку AB=A₁B₁, точка B совпадет с точкой B₁. Аналогично, так как луч AC образует с лучом AB тот же угол, что и луч A₁C₁ с лучом A₁B₁, то луч AC ляжет на луч A₁C₁. Из равенства AC=A₁C₁ следует, что точка C совпадет с точкой C₁.

Проверка и вывод:

Так как все три вершины треугольника ABC (A, B, C) совпали с соответствующими вершинами треугольника A₁B₁C₁ (A₁, B₁, C₁), то эти треугольники полностью совпадают. Следовательно, они равны. Теорема доказана.