ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 16: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Формулировка теоремы.

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо в сумме составляют 180^°.

План доказательства.

Рассмотрим два угла: ∠AOB и ∠C₁O₁D₁. По условию, луч OA∥O₁C₁, а луч OB∥O₁D₁. Нам нужно показать, что эти углы связаны соотношением равенства или дополнения до развернутого угла. Для этого воспользуемся свойством параллельных прямых при пересечении секущей. Проведем вспомогательную линию или продолжим одну из сторон так, чтобы получить пару накрест лежащих или соответственных углов.

Ход доказательства (случай 1: углы равны).

Пусть стороны углов направлены одинаково относительно вершин (например, обе пары лучей сонаправлены). Продолжим сторону O₁C₁ за вершину O₁ до точки E. Тогда угол ∠EO₁D₁ смежный с ∠C₁O₁D₁. Однако более простой путь — провести через вершину O прямую, параллельную O₁D₁, но так как OB∥O₁D₁, то эта прямая совпадет с OB. Рассмотрим секущую OO₁ (если соединить вершины) или просто используем аксиому параллельности.
Строгое геометрическое доказательство часто опирается на переход к третьему углу. Пусть мы имеем угол ∠1 (AOB) и угол ∠2 (C₁O₁D₁).
Продолжим луч OA в обратном направлении до точки A′. Угол ∠A′OB смежный с ∠AOB. Так как OA∥O₁C₁, то и OA′∥O₁C₁. Если предположить, что лучи OB и O₁D₁ сонаправлены, а OA и O₁C₁ сонаправлены, то углы равны как соответственные при параллельных прямых и одной секущей (если представить их наложенными друг на друга через параллельный перенос).
Более формально: пусть OA∥O₁C₁ и OB∥O₁D₁. Проведем через точку O прямую l, параллельную O₁D₁. По аксиоме параллельности, такая прямая единственна, значит, она совпадает с прямой OB. Теперь рассмотрим угол между OA и OB. Он равен углу между O₁C₁ и O₁D₁, если направления совпадают. Это следует из того, что параллельный перенос сохраняет величину угла.

Ход доказательства (случай 2: сумма углов 180^°).

Если одна пара сторон сонаправлена, а другая — противоположно направлена (или обе пары противоположно направлены), то один из углов является вертикальным к первому случаю, а другой смежным. Например, пусть OA∥O₁C₁ (сонаправлены), а OB и O₁D₁ направлены в разные стороны (противоположно). Тогда угол ∠AOB и угол ∠C₁O₁D₁ можно связать через промежуточный угол ∠C₁O₁X, где OX∥OB и сонаправлен с O₁D₁. В этом случае ∠AOB=∠C₁O₁X (как равные углы с сонаправленными сторонами). Но ∠C₁O₁X и ∠C₁O₁D₁ — смежные углы, так как X,O_1,D₁ лежат на одной прямой (лучи противоположны). Следовательно, ∠C₁O₁X+∠C₁O₁D₁=180^°. Заменив ∠C₁O₁X на ∠AOB, получаем ∠AOB+∠C₁O₁D₁=180^°.

Проверка и вывод.

Мы рассмотрели основные конфигурации взаимного расположения лучей. Поскольку у каждого угла две стороны, возможны комбинации направлений: обе сонаправлены, обе противоположно направлены (углы равны как вертикальные к предыдущему случаю или просто равны по симметрии), или одна сонаправлена, другая противоположна (углы в сумме дают 180^°). Таким образом, утверждение теоремы доказано: углы с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо в сумме составляют 180^°.