ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 20: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что две параллельные прямые, не параллельные оси Oy, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Угловой коэффициент прямой k связан с углом β, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс (Ox), формулой k=tanβ. Нам нужно доказать два утверждения:
- Если две прямые параллельны (и не вертикальны), то их угловые коэффициенты равны.
- Если угловые коэффициенты двух прямых равны, то эти прямые параллельны.
Часть 1: Из параллельности следует равенство коэффициентов.
Пусть даны две параллельные прямые l1 и l2, которые не параллельны оси Oy (то есть они не являются вертикальными). Обозначим угол наклона прямой l1 к оси Ox как β1, а угол наклона прямой l2 — как β2.
Так как прямые l1 и l2 параллельны, а ось Ox является секущей для них, то соответственные углы при пересечении параллельных прямых третьей прямой равны. Следовательно, β1=β2.
По определению углового коэффициента: k1=tanβ1 k2=tanβ2
Так как β1=β2, то и тангенсы этих углов равны. Значит, k1=k2. Утверждение доказано.
Часть 2: Из равенства коэффициентов следует параллельность.
Пусть даны две прямые l1 и l2, не параллельные оси Oy, с угловыми коэффициентами k1 и k2, причем k1=k2.
Выразим углы наклона через арктангенс (или просто воспользуемся свойством монотонности тангенса на промежутке (-π/2;π/2)): β1=arctgk1 β2=arctgk2
Так как k1=k2, то β1=β2. Это означает, что обе прямые образуют с осью Ox одинаковые углы.
В геометрии известно, что если две прямые пересекают третью прямую (в данном случае ось Ox) так, что соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны между собой. Следовательно, l1
parallell2.
Проверка и вывод.
Мы использовали фундаментальное определение углового коэффициента через тангенс угла наклона и признак параллельности прямых через равенство соответственных углов. Ограничение «не параллельны оси Oy» необходимо, так как для вертикальных прямых угол наклона равен 90o, а tan90o не существует, поэтому понятие углового коэффициента для них неприменимо в стандартной школьной программе.
Оба утверждения доказаны строго по логике тригонометрии и планиметрии.
Доказательство опирается на связь углового коэффициента k с углом наклона β: k=tanβ. Для параллельных прямых соответственные углы с осью Ox равны (β1=β2), значит, равны и их тангенсы (k1=k2). Если же k1=k2, то равны углы наклона, что по признаку параллельности прямых означает их параллельность.
Решение построено на базовом определении углового коэффициента и геометрическом признаке параллельности. Важно подчеркнуть условие о том, что прямые не параллельны оси Oy, так как для таких прямых угловой коэффициент не определен.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 20 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 20?
Краткий ответ: Доказательство опирается на связь углового коэффициента k с углом наклона : k= . Для параллельных прямых соответственные углы с осью Ox равны ( _1= _2), значит, равны и их тангенсы (k_1=k_2). Если же k_1=k_2, то равны углы наклона, что по признаку параллельности прямых означает их параллельность.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.