ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 27: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

План решения:

Ось симметрии двух точек — это прямая, относительно которой одна точка переходит в другую. Геометрически такая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему данные точки. Чтобы построить эту ось, нам нужно найти середину отрезка и провести через неё прямую, перпендикулярную данному отрезку.

Пошаговое построение:

1. Пусть даны две различные точки A и B. С помощью линейки проведём прямую, проходящую через эти точки, и выделим на ней отрезок AB.
2. С помощью циркуля измерим расстояние между точками A и B. Установим раствор циркуля так, чтобы он был больше половины длины отрезка AB (например, равен длине AB или чуть больше).
3. Ставим остриё циркуля в точку A и проводим дугу окружности выше и ниже прямой AB.
4. Не меняя раствора циркуля, ставим его остриё в точку B и проводим аналогичные дуги. Эти дуги должны пересечься с первыми двумя дугами в двух точках. Обозначим точки пересечения как P и Q.
5. С помощью линейки проведём прямую, проходящую через точки P и Q. Эта прямая и есть искомая ось симметрии.

Проверка и обоснование:

Рассмотрим треугольники APQ и BPQ. По построению AP=BP (радиусы равных окружностей) и AQ=BQ (также радиусы). Сторона PQ общая. Следовательно, △APQ=△BPQ по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что углы при основании равны, а значит, прямая PQ делит угол APB пополам и является высотой к основанию AB в равнобедренном треугольнике APB. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, также является медианой и биссектрисой. Таким образом, прямая PQ проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему. Любая точка этой прямой равноудалена от A и B, поэтому отражение точки A относительно этой прямой даёт точку B. Построение верно.