ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 30: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

План решения:

Для построения точки M′, симметричной точке M относительно прямой b, необходимо опустить перпендикуляр из точки M на прямую b и отложить на нём расстояние, равное расстоянию от M до основания перпендикуляра. В пункте а) мы будем использовать стандартные инструменты: циркуль для засечек и линейку для соединения точек. В пункте б) задача усложняется тем, что линейка недоступна, поэтому нам придётся строить перпендикуляр и находить середину отрезка исключительно с помощью циркуля, используя свойства ромба или окружностей.

Вычисление и построение:

а) С помощью циркуля и линейки:

1. Ставим остриё циркуля в точку M и проводим дугу радиусом, достаточным для того, чтобы она пересекла прямую b в двух различных точках. Обозначим эти точки пересечения как A и B.
2. Теперь ставим остриё циркуля в точку A и проводим дугу радиусом R>AB/2 (можно оставить тот же радиус, если он достаточно велик).
3. Не меняя раствора циркуля, ставим его остриё в точку B и проводим вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой дугой по другую сторону от прямой b. Точку пересечения этих дуг обозначим как M′.
4. С помощью линейки соединяем точки M и M′. Отрезок MM′ будет перпендикулярен прямой b, а точка пересечения MM′ с b будет серединой отрезка MM′. Таким образом, M′ — искомая симметричная точка.

б) С помощью одного циркуля:

1. Как и в первом случае, ставим остриё циркуля в точку M и проводим дугу, пересекающую прямую b в точках A и B. Теперь у нас есть два равноудалённых от M пункта на прямой.
2. Чтобы построить перпендикуляр без линейки, нужно найти ещё одну точку, равноудалённую от A и B. Для этого ставим остриё циркуля в точку A и проводим дугу радиусом r (где r>MA).
3. Ставим остриё циркуля в точку B и проводим дугу тем же радиусом r. Эти две дуги пересекутся в двух точках. Одна из них будет лежать со стороны точки M (обозначим её C), другая — с противоположной стороны (обозначим её D).
4. Заметим, что четырёхугольник ACBD является ромбом, так как все его стороны равны радиусу r. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам. Прямая CD является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Поскольку MA=MB, точка M также лежит на этом перпендикуляре. Следовательно, точки M,C,D лежат на одной прямой, перпендикулярной b.
5. Однако нам нужна именно симметричная точка. Более простой способ только циркулем: после нахождения точек A и B (шаг 1), строим окружность с центром в A радиусом AM и окружность с центром в B радиусом BM. Они пересекаются в точке M и в точке M′. Так как AM=AM′ и BM=BM′, то треугольники AMB и AM′B равны по трём сторонам, а значит, M′ симметрична M относительно прямой AB (то есть b).

Проверка:

В обоих случаях мы использовали свойство симметрии: точка, симметричная данной относительно прямой, находится на перпендикуляре к этой прямой, проведённому через данную точку, на таком же расстоянии от прямой. Построенная точка M′ удовлетворяет условию MM′⊥b и делится прямой b пополам. Это подтверждает правильность конструкции.