ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 18: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

План решения:

• Сформулируем теорему о квадрате отрезка касательной (часто называемую теоремой о степени точки или частным случаем теоремы о секущей и касательной).
• Приведём доказательство, используя подобие треугольников.

Формулировка теоремы:

Если из внешней точки A проведены к окружности касательная AB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей:

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники △ABC и △ADB. Они имеют общий угол при вершине A, то есть ∠BAC=∠DAB.
2. Угол между касательной AB и хордой BC равен половине дуги BC, на которую он опирается. Вписанный угол ∠BDC также опирается на дугу BC. Следовательно, ∠ABC=∠ADB (или обозначим его как ∠D).
3. Так как два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника (∠A — общий, ∠ABC=∠ADB), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия: △ABC∼△ADB.
4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: AB/AD=AC/AB
5. Перемножив крайние и средние члены этой пропорции, получаем: AB·AB=AC·AD AB²=AC·AD

Проверка:

Логика доказательства основана на фундаментальных свойствах углов, связанных с окружностью (вписанные углы и угол между касательной и хордой), и признаке подобия треугольников. Результат согласуется с известной теоремой о степени точки относительно окружности.