ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 15: Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 9 сентября 2026
Условие
Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей
а) соответственные углы равны
б) сумма односторонних углов равна 180°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В данной задаче требуется доказать два фундаментальных свойства параллельных прямых при пересечении их секущей. Мы будем опираться на аксиому параллельности и определение смежных углов.
План доказательства
- Часть а) : Докажем равенство соответственных углов методом от противного, используя аксиому параллельности.
- Часть б) : Используем доказанный факт из части а) и свойство смежных углов для вывода суммы односторонних углов.
Пусть даны две параллельные прямые a и b (a∥b), которые пересекает третья прямая c (секущая).
Обозначим точки пересечения: A=a∩c и B=b∩c.
При пересечении образуются углы. Для удобства доказательства выберем пару соответственных углов , например, 1/2 угла при вершине A и 1/2 угла при вершине B, расположенных в одном направлении относительно секущей и параллельных прямых. Также выделим пару односторонних углов .
Примечание к чертежу: На схеме выше условно показаны прямые. Угол 1 и угол 2 — соответственные. Угол 1 и угол 3 (смежный с углом 2 или вертикальный ему в зависимости от нумерации) могут образовывать пару односторонних вместе с другим углом.
Докажем утверждение методом от противного.
Предположение: Пусть соответственные углы не равны. Например, пусть 1/2≠2/2 (где 1/2 — угол при прямой a, а 2/2 — соответственный ему угол при прямой b).
Если соответственные углы не равны, то мы можем провести через точку A новую прямую a′ так, чтобы она образовывала с секущей c угол, равный 2/2. То есть, построим 1′/2=2/2.
По признаку параллельности прямых (если соответственные углы равны, то прямые параллельны), прямая a′ будет параллельна прямой b: a′∥b.
Однако по условию задачи нам дано, что прямая a параллельна прямой b: a∥b.
Таким образом, через точку A проходят две различные прямые a и a′, обе параллельные прямой b.
Противоречие: Это противоречит аксиоме параллельности , которая гласит: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной».
Вывод: Наше предположение о неравенстве углов было неверным. Следовательно, соответственные углы равны.
1/2=2/2Рассмотрим пару односторонних углов. Пусть это будут угол 1/2 (при прямой a) и угол 3/2 (при прямой b), лежащие по одну сторону от секущей c.
Найдем связь между этими углами и уже доказанными нами фактами.
- Пусть 2/2 — это угол при прямой b, который является соответственным к углу 1/2. Из пункта а) мы знаем, что: 1/2=2/2.
- Углы 2/2 и 3/2 являются смежными (они лежат на одной прямой b и дополняют друг друга до развернутого угла). По определению смежных углов их сумма равна 180o: 2/2+3/2=180o.
- Подставим значение 1/2 вместо 2/2 во второе уравнение (так как они равны): 1/2+3/2=180o.
Вывод: Сумма односторонних углов 1/2 и 3/2 равна 180o.
Итоговый ответ
а) Соответственные углы равны.
б) Сумма односторонних углов равна 180o.
а) Соответственные углы равны.
б) Сумма односторонних углов равна 180°.
Доказательство выполнено строго по школьной программе геометрии 7 класса. Использован метод от противного для первого пункта, опирающийся на аксиому параллельности. Второй пункт выведен логически из первого с использованием свойств смежных углов. Чертёж представлен схематично через div с классом gdz-draw.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 15 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 15?
Краткий ответ: а) Соответственные углы равны. б) Сумма односторонних углов равна 180^.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.