ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 9: Формула Герона

План доказательства:

Для доказательства теоремы Пифагора мы воспользуемся методом площадей. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Мы построим квадрат со стороной (a+b) и разместим внутри него четыре таких же прямоугольных треугольника так, чтобы их гипотенузы образовали внутренний квадрат со стороной c. Затем выразим площадь большого квадрата двумя способами: как сумму площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата, и как квадрат его стороны.

Вычисление:

1. Площадь большого квадрата со стороной (a+b) равна: S_больш =(a+b)²=a²+2ab+b²

2. С другой стороны, этот квадрат состоит из четырёх одинаковых прямоугольных треугольников и одного внутреннего квадрата со стороной c. Площадь одного треугольника равна 1/2ab, значит, площадь четырёх треугольников равна 4×1/2ab=2ab. Площадь внутреннего квадрата равна c². Таким образом, сумма площадей частей равна: S_частей =2ab+c²

3. Приравняем два выражения для площади большого квадрата: a²+2ab+b²=2ab+c²

4. Вычтем 2ab из обеих частей равенства: a²+b²=c²

Проверка и формулировка:

Мы получили алгебраическое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это подтверждает истинность утверждения. Таким образом, теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Доказательство завершено.