ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 7.4: Исследовательские задачи

План решения

В курсе геометрии 7 класса изучаются три основных признака равенства треугольников. Задача требует для каждого из них описать алгоритм построения треугольника с помощью циркуля и линейки по соответствующим элементам (сторонам и углам). Мы разберём каждый признак отдельно: первый — по трём сторонам, второй — по двум сторонам и углу между ними, третий — по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Вычисление и описание построений

1. Первый признак равенства (по трём сторонам):
Даны три отрезка a, b и c.
а) Проводим прямую и отмечаем на ней отрезок AB=c.
б) Строим окружность с центром в точке A радиусом b.
в) Строим окружность с центром в точке B радиусом a.
г) Точка пересечения этих окружностей (например, точка C) является третьей вершиной треугольника.
д) Соединяем точки C с A и B. Треугольник ABC построен.

2. Второй признак равенства (по двум сторонам и углу между ними):
Даны две стороны a, b и угол β между ними.
а) Строим угол β с вершиной в точке A.
б) На одной стороне угла откладываем отрезок AB=c (или одну из данных сторон, пусть будет b).
в) На другой стороне угла откладываем отрезок AC=b (или вторую сторону a).
г) Соединяем точки B и C. Треугольник ABC построен.

3. Третий признак равенства (по стороне и двум прилежащим к ней углам):
Дана сторона c и два прилежащих к ней угла β и β′ (обозначим их как углы при концах стороны).
а) Проводим прямую и отмеряем на ней отрезок AB=c.
б) В точке A строим угол, равный одному из данных углов, так чтобы его сторона лежала по одну сторону от прямой AB.
в) В точке B строим угол, равный второму данному углу, так чтобы его сторона также лежала по ту же сторону от прямой AB.
г) Лучи, образующие эти углы, пересекаются в точке C.
д) Треугольник ABC построен.

Проверка

Каждое из описанных построений опирается на аксиомы планиметрии и свойства окружности/угла. Если данные элементы удовлетворяют неравенству треугольника (для первого случая) или сумма углов меньше 180^° (для третьего случая), то решение существует и единственно с точностью до движения плоскости. Таким образом, мы успешно реализовали задачу на построение для всех трёх признаков равенства треугольников.