ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 8.2: Исследовательские задачи

План решения:

Теорема Птолемея гласит: в выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность (вписанном), произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. Если ABCD — вписанный четырёхугольник, то AC·BD=AB·CD+BC·AD.

В условии задачи предлагается не просто решить примеры из учебника, а предложить свои задачи . Для этого мы составим две оригинальные исследовательские задачи разного уровня сложности, которые требуют применения теоремы Птолемея для нахождения неизвестного элемента или доказательства свойства.

Задача 1 (Базовый уровень): Вычисление длины диагонали

Условие: В окружность вписан прямоугольный трапециевидный участок земли с основаниями a=6 м и b=8 м, боковые стороны равны c=5 м и d. Найдите длину большей диагонали участка, если известно, что меньшая диагональ равна 7 м.

Решение:

1. Так как трапеция вписана в окружность, она должна быть равнобедренной? Нет, условие говорит о прямоугольной трапеции. Но вписать можно только равнобедренную трапецию. Значит, задача содержит ловушку или требует проверки существования такой фигуры. Давайте скорректируем условие на более стандартное для теоремы Птолемея, чтобы избежать противоречий геометрии.
2. Исправленное условие Задачи 1: В окружность вписан четырёхугольник ABCD, у которого стороны AB=3, BC=4, CD=5, DA=6. Диагональ AC=7. Найдите вторую диагональ BD.
3. Применим теорему Птолемея: AC·BD=AB·CD+BC·DA.
4. Подставим известные значения: 7·BD=3·5+4·6.
5. Вычислим правую часть: 7·BD=15+24=39.
6. Найдём BD: BD=39/7.

Ответ: 39/7.

Задача 2 (Повышенный уровень): Доказательство равенства

Условие: Пусть ABC — правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Точка M лежит на дуге BC, не содержащей вершину A. Докажите, что MA=MB+MC.

Решение:

1. Рассмотрим четырёхугольник ABMC. Так как все его вершины лежат на одной окружности, он является вписанным.
2. Стороны правильного треугольника равны между собой: AB=BC=CA=a. По формуле связи стороны правильного треугольника с радиусом описанной окружности: a=R3.
3. Диагоналями четырёхугольника ABMC являются отрезки AM и BC.
4. Применим теорему Птолемея к этому четырёхугольнику: AM·BC=AB·MC+AC·MB.
5. Заменим стороны AB, AC и диагональ BC на их равные значения a: AM·a=a·MC+a·MB.
6. Разделим обе части уравнения на a (так как a≠0): AM=MC+MB.

Вывод: Утверждение доказано. Это классическое следствие теоремы Птолемея для правильного треугольника.

Проверка и анализ:

В первой задаче мы использовали прямое применение формулы для нахождения неизвестного линейного размера. Числа подобраны так, чтобы ответ был рациональным числом (хотя и дробным). Во второй задаче продемонстрировано использование теоремы для доказательства геометрического тождества, что часто встречается в исследовательских задачах. Обе задачи соответствуют теме «Исследовательские задачи» и демонстрируют разные аспекты применения теоремы Птолемея.