ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 7.1: Исследовательские задачи

План исследования. В стандартном курсе геометрии мы изучаем три основных признака равенства треугольников (по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам). Однако элементы треугольника — медианы, биссектрисы и высоты — также однозначно определяют форму и размер фигуры. Наша задача — сформулировать новые признаки, опираясь на эти элементы. Мы будем использовать метод достроения: если даны два элемента одного типа (например, две медианы) и один элемент другого типа или сторона, можно ли восстановить треугольник однозначно? Если да, то такие данные образуют новый признак равенства.

Вычисление и формулировка признаков.

1. Признак по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них.
   Пусть в △ABC и △A₁B₁C₁ дано: AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и медиана BM=B₁M₁ (где M и M₁ — середины сторон AC и A₁C₁).
   Рассмотрим △ABM и △A₁B₁M₁. У нас есть AB=A₁B₁, AM=1/2AC=1/2A₁C₁=A₁M₁ и BM=B₁M₁. По третьему признаку равенства (SSS) эти треугольники равны. Следовательно, угол ∠BAM=∠B₁A₁M₁, то есть ∠A=∠A₁. Теперь для исходных треугольников ABC и A₁B₁C₁ имеем две пары равных сторон и равный угол между ними. Значит, △ABC=△A₁B₁C₁.
2. Признак по стороне и двум прилежащим к ней углам, заданным через высоту.
   Это более сложный случай, но проще сформулировать признак по высоте и острым углом при основании . Пусть даны высота h_a, сторона a и угол β. Это не всегда однозначно (возможны два решения), поэтому лучше взять признак по двум высотам и стороне между их основаниями или аналогичные комбинированные варианты.
   Более надежный вариант: Признак по двум сторонам и биссектрисе, проведённой к третьей стороне.
   Пусть AB=A₁B₁, BC=B₁C₁ и биссектриса BD=B₁D₁ (D∈AC). Доказательство требует применения теоремы о биссектрисе и свойств пропорциональности отрезков, что приводит к равенству углов ∠B и ∠B₁, а затем к равенству треугольников по первому признаку (SAS).
3. Признак по трём медианам.
   Если три медианы одного треугольника соответственно равны трём медианам другого, то эти треугольники равны. Это следует из того, что треугольник со сторонами, равными 2/3 данных медиан, подобен исходному треугольнику с коэффициентом 2/3 (или через построение параллелограмма на медианах). Поскольку форма определяется сторонами, а масштаб фиксирован длинами медиан, треугольники конгруэнтны.

Проверка и вывод.
Мы вывели несколько новых утверждений:
1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и медиана, проведённая к одной из этих сторон.
2. Треугольники равны, если у них соответственно равны три медианы.
3. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и биссектриса, проведённая к третьей стороне.
Эти признаки являются следствиями основных аксиом и теорем планиметрии. Для школьного «банка признаков» достаточно зафиксировать первый пункт как наиболее простой и геометрически наглядный пример расширения классических критериев.