ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 3: Комплексные задания

План решения:

Для того чтобы разделить круглую клумбу на равные части с помощью одного шаблона, угол этого шаблона β должен быть таким, чтобы полный оборот (360^o) делился на него без остатка. То есть число частей n=360/β должно быть целым числом. Если мы хотим получить неравные части или использовать комбинацию углов для получения конкретного количества секторов (в данном случае 5), нужно рассмотреть геометрические свойства деления круга.

Вычисление:

1) Проверим каждый из предложенных углов: 30^o,45^o,60^o,75^o,90^o.

• Для β=30^o: n=360/30=12. Это целое число, шаблон подходит.
• Для β=45^o: n=360/45=8. Это целое число, шаблон подходит.
• Для β=60^o: n=360/60=6. Это целое число, шаблон подходит.
• Для β=75^o: n=360/75=4.8. Не является целым числом, значит, нельзя разделить круг на равные сектора этим углом за один проход без остатка или перекрытия. Шаблон не подходит для стандартного деления на равные части.
• Для β=90^o: n=360/90=4. Это целое число, шаблон подходит.

Таким образом, Анна сможет воспользоваться 4 шаблонами (с углами 30^o,45^o,60^o,90^o).

2) Максимальное количество видов цветов соответствует максимальному количеству равных частей, на которые можно разделить круг одним шаблоном. Из пункта 1 видно, что наибольшее число частей дает угол 30^o (n=12). Следовательно, максимальное количество видов — 12.

3) Чтобы посадить 5 видов цветов, используя неравные части и разные шаблоны, нам нужно составить сумму углов, равную 360^o, из 5 слагаемых, выбранных из набора β, при этом хотя бы два угла должны отличаться друг от друга (чтобы части были неравными) и использованы разные шаблоны (углы). Однако в условии сказано «используя деление... с помощью разных шаблонов». Обычно это означает, что мы накладываем шаблоны последовательно. Но более вероятная интерпретация школьной задачи: нужно разбить круг на 5 секторов, углы которых берутся из доступных значений, и сумма их равна 360. При этом части неравные. Давайте попробуем подобрать комбинацию из 5 углов (можно повторять, но условие говорит «разными шаблонами», что может означать использование нескольких различных типов углов в одной конфигурации). Если под «разными шаблонами» понимается, что мы берем набор углов, где есть минимум два разных значения: Попробуем собрать 5 секторов. Сумма должна быть 360. Средний угол 360/5=72^o. Наши углы: 30, 45, 60, 75, 90. Можно ли составить 360 из пяти чисел этого ряда? Пример: 90+90+60+60+60=360. Здесь используются шаблоны 90 и 60. Части неравные (есть 90 и 60). Количество частей 5. Шаблоны разные (два вида). Другой пример: 75+75+75+75+60=360. Использованы 75 и 60. Еще вариант: 90+75+60+45+90=360? 90+75+60+45+90=360. Да. Здесь использованы все четыре подходящих шаблона (кроме 30, если он не нужен, или можно заменить). В условии спрашивается «Какими шаблонами она может воспользоваться?». Скорее всего, ответ подразумевает перечень тех углов, которые участвуют в таком разбиении. Поскольку вариантов много, обычно в таких задачах подразумевается возможность использования любого сочетания, дающего в сумме 360 градусов на 5 секторов. Но часто «разными шаблонами» может означать, что каждый следующий сектор чертится другим инструментом. Или просто что набор инструментов включает несколько типов. Рассмотрим самый простой случай: деление на 5 неравных частей. Например, углы 90^o,90^o,60^o,60^o,60^o. Здесь применены шаблоны 90^o и 60^o. Или 75^o,75^o,75^o,75^o,60^o. Шаблоны 75^o и 60^o. Или 90^o,75^o,60^o,45^o,90^o. Шаблоны 90,75,60,45. Так как вопрос открытый («какими»), то правильным будет указать, что можно использовать любые комбинации из допустимых углов (30,45,60,75,90), сумма которых равна 360^o и количество слагаемых равно 5, при условии, что не все слагаемые одинаковы. Однако, если посмотреть на типичные задачи такого рода, часто имеется в виду конкретный набор. Давайте проверим, можно ли использовать только один шаблон для 5 частей? Нет, так как 360/5=72, а шаблона 72 нет. Значит, обязательно нужны разные. Ответ на этот пункт обычно формулируется как перечисление возможных наборов или указание на то, что подходят любые шаблоны из имеющихся, позволяющие набрать сумму 360 на 5 секторов. Наиболее «естественное» деление на 5 частей часто ассоциируется с пентагоном, но здесь углы фиксированы. Возьмем набор: 90^o,90^o,60^o,60^o,60^o. Итого 5 частей, неравные, использованы шаблоны 90 и 60. Возьмем набор: 75^o,75^o,75^o,75^o,60^o. Итого 5 частей, неравные, использованы шаблоны 75 и 60. Возьмем набор: 45^o,45^o,90^o,90^o,90^o. Сумма 90+180+90=360. 5 частей. Шаблоны 45 и 90. Следовательно, Анна может воспользоваться различными комбинациями шаблонов. В качестве ответа можно привести примеры таких комбинаций или сказать, что подходят любые из указанных (кроме случая, когда требуется строго по одному разу каждого, что невозможно для 5 частей из 4-х рабочих углов, если не повторять). Уточним формулировку «используя ... с помощью разных шаблонов». Это может означать, что в процессе деления применяются несколько различных физических трафаретов. Тогда ответ: например, шаблоны с углами 90^o и 60^o; или 75^o и 60^o; или 45^o и 90^o и т.д.

Проверка:

1) Делимость 360 на углы подтверждена. Угол 75 не дает целого числа частей, поэтому исключен из пункта 1. 2) Максимум частей у минимального угла (30), что верно. 3) Для 5 частей сумма углов должна быть 360. Примеры приведены верно (90+90+60+60+60=360). Части неравные, шаблоны разные. Логика соблюдена.