ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 7.2: Исследовательские задачи

План решения:

В данной задаче требуется сформулировать признаки равенства равнобедренных треугольников. Поскольку в условии не даны конкретные размеры сторон или углов для вычислений, а также отсутствует чертёж с числовыми данными, задача носит теоретический характер. Мы должны опираться на общие признаки равенства треугольников (по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам) и учесть специфические свойства равнобедренного треугольника: равенство боковых сторон и равенство углов при основании.

Вычисление и формулировка признаков:

Рассмотрим два равнобедренных треугольника △ABC и △A₁B₁C₁, где AB=AC и A₁B₁=A₁C₁ — боковые стороны, а BC и B₁C₁ — основания. Углы при основаниях равны: ∠B=∠C и ∠B₁=∠C₁.

• Признак 1 (по основанию и боковой стороне): Если основание одного равнобедренного треугольника равно основанию другого (BC=B₁C₁), а боковая сторона одного равна боковой стороне другого (AB=A₁B₁), то такие треугольники равны. Это следует из признака равенства треугольников по трём сторонам (SSS), так как вторая боковая сторона автоматически равна первой в каждом треугольнике.
• Признак 2 (по основанию и углу при основании): Если основание одного равнобедренного треугольника равно основанию другого (BC=B₁C₁) и угол при основании одного равен углу при основании другого (∠B=∠B₁), то треугольники равны. Так как ∠B=∠C и ∠B₁=∠C₁, то у нас есть сторона и два прилежащих к ней угла (ASA).
• Признак 3 (по боковой стороне и углу при вершине): Если боковая сторона одного равнобедренного треугольника равна боковой стороне другого (AB=A₁B₁) и угол при вершине одного равен углу при вершине другого (∠A=∠A₁), то треугольники равны. Это прямой признак равенства по двум сторонам и углу между ними (SAS), так как AC=AB и A₁C₁=A₁B₁.
• Признак 4 (по боковой стороне и углу при основании): Если боковая сторона одного равнобедренного треугольника равна боковой стороне другого (AB=A₁B₁) и угол при основании одного равен углу при основании другого (∠B=∠B₁), то треугольники равны. Здесь можно использовать признак ASA, зная, что ∠C=∠B и ∠C₁=∠B₁, а также найти третий угол через сумму углов треугольника.

Проверка:

Все перечисленные признаки являются частными случаями общих признаков равенства треугольников, адаптированными под свойства равнобедренного треугольника. Логика верна: знание двух элементов (одного из которых достаточно для определения третьего благодаря симметрии или сумме углов) позволяет однозначно восстановить треугольник. Таким образом, сформулированные условия достаточны для доказательства равенства.