ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 446: Теорема Пифагора

План решения.

Задача на построение треугольника по периметру P и двум углам β и θ сводится к вспомогательному построению. Идея метода заключается в том, чтобы «развернуть» периметр в одну прямую линию. Для этого нужно построить вспомогательный треугольник, основанием которого является отрезок, равный данному периметру P, а углы при этом основании равны половинам данных углов исходного треугольника (β/2 и θ/2). После нахождения вершины этого вспомогательного треугольника мы сможем восстановить искомый треугольник, используя свойства биссектрис и равнобедренных треугольников.

Ход построения.

1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок AC, равный заданному периметру P.
2. При точке A построим угол, равный половине данного угла β (то есть β/2), так чтобы одна сторона угла совпадала с лучом AC. Аналогично при точке C построим угол, равный половине данного угла θ (то есть θ/2).
3. Лучи, образующие эти углы, пересекутся в некоторой точке B₁. Получили вспомогательный треугольник AB₁C.
4. Теперь восстановим искомый треугольник ABC. Точка B₁ будет являться точкой, симметричной или связанной с вершиной B через биссектрисы. Более простой способ завершения: проведём биссектрису угла A во вспомогательном треугольнике? Нет, стандартный алгоритм следующий:
   • Вспомним, что если продолжить сторону AB до точки D такой, что BD=BC, то треугольник ADC имеет основание AD=AB+BC+CA=P? Нет, это для другого случая.
   • Вернёмся к указанию: строим △AB₁C со стороной AC=P и углами β/2,θ/2. Тогда вершина B искомого треугольника лежит на пересечении биссектрисы внешнего угла при A и биссектрисы внешнего угла при C? Или проще: точка B — это такая точка, что BA и BC являются биссектрисами углов при A и C в каком-то другом контексте?
   • Давайте разберем геометрию строго. Пусть искомый △ABC. Продлим сторону CB за точку B до точки K так, что BK=BA. Тогда △ABK — равнобедренный. Угол AKC равен 1/2β. Аналогично, продлим AB за B до M так, что BM=BC. Угол AMC=1/2θ. Это сложный путь.
   • Используем подсказку напрямую. Построили △AB₁C с основанием AC=P и углами β/2 и θ/2. Теперь найдем вершину B искомого треугольника. Вершина B должна лежать внутри △AB₁C? Нет. Вспомним свойство: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону... Здесь не так.
   • Правильное завершение построения по классической схеме: После построения △AB₁C (где AC=P, A=β/2, C=θ/2), проводим биссектрису угла A в этом вспомогательном треугольнике? Нет. Нужно провести биссектрисы внешних углов при A и C?
   • Рассмотрим искомый △ABC. Пусть L — точка на продолжении AC? Нет.
   • Стандартное решение этой задачи: Строим △A′B′C′ со стороной A′C′=P и углами β/2 и θ/2 при основании. Тогда вершина B искомого треугольника находится как пересечение биссектрисы угла A′ и биссектрисы угла C′? Нет, тогда получится инцентр.
   • Давайте проверим логику. Если мы возьмем △AB₁C из шага 3. Проведем биссектрису угла B₁AC? Нет.
   • Существует более надежный метод: Построить угол β и угол θ. Отложить на одной стороне угла β отрезок, равный части периметра... нет, периметр неизвестен по частям.
   • Вернемся к указанию учебника. Оно верно. Как достроить?
     Построили △AB₁C с основанием AC=P и углами β/2,θ/2.
     Теперь проведем биссектрису угла A в △AB₁C? Нет.
     Нужно найти точку B такую, что AB+BC+AC=P. Это значит AB+BC=P-AC. Но мы использовали весь P как основание.
     Ах, вот в чем суть: В искомом треугольнике ABC пусть мы продлим сторону AC до точки D так, что CD=CB. Тогда △BCD равнобедренный, угол BDC=θ/2. Также продлим AC в другую сторону до E так, что AE=AB. Тогда △ABE равнобедренный, угол AEB=β/2.
     Тогда в большом треугольнике EBD: сторона ED=EA+AC+CD=AB+AC+BC=P. Углы при основании E и D равны β/2 и θ/2.
     Значит, мы построили именно этот большой треугольник EBD (назовем его AB₁C в наших обозначениях выше, где A=E,C=D,B₁=B).
     Итак, у нас есть △EBD со стороной ED=P и углами β/2,θ/2. Вершина B найдена.
     Теперь нужно вернуть точки A и C на сторону ED. Точка A (вершина исходного треуг.) лежит на ED так, что EA=AB. Значит, A лежит на серединном перпендикуляре к EB? Да, так как △EAB равнобедренный (EA=AB). Аналогично, C лежит на серединном перпендикуляре к BD, так как △CBD равнобедренный (CB=CD).

Таким образом, алгоритм действий после построения вспомогательного △EBD (где ED=P):

• Построить серединный перпендикуляр к стороне EB. Он пересечёт отрезок ED в точке A.
• Построить серединный перпендикуляр к стороне BD. Он пересечёт отрезок ED в точке C.
• Треугольник ABC — искомый.

Проверка.

По построению EA=AB (так как A на серединном перпендикуляре к EB), следовательно, △EAB равнобедренный, и угол AEB=угол ABE=β/2. Внешний угол △EAB при вершине A равен сумме внутренних несмежных, но нам нужен угол △ABC. Угол BAC=180^o-угол BAE. В △EAB сумма углов 180, значит угол BAE=180-β. Тогда угол BAC=β. Аналогично для угла C: CD=CB, △CBD равнобедренный, угол CDB=θ/2, угол BCD=180-θ, значит внутренний угол BCA=θ. Периметр P_ABC=AB+BC+CA=EA+CD+AC=ED=P. Условия выполнены.