ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 448: Теорема Пифагора

План решения.

Чтобы найти точку на окружности, равноудалённую от концов данного отрезка AB, нужно вспомнить геометрическое место точек, обладающих этим свойством. Все точки плоскости, равноудалённые от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, искомая точка должна одновременно принадлежать данной окружности и серединному перпендикуляру к отрезку AB. Задача сводится к построению этих двух объектов и нахождению их общих точек.

Ход построения и вычисление.

1. Проведём прямую, содержащую данный отрезок AB (если она не проведена).
2. Найдём середину отрезка AB. Для этого можно построить серединный перпендикуляр стандартным способом: из концов отрезка проводим дуги одинакового радиуса (большего половины длины отрезка), пересекающиеся в двух точках; прямая через эти точки и есть искомый перпендикуляр.
3. Обозначим построенную прямую как l. Это и есть геометрическое место точек, равноудалённых от A и B.
4. Рассмотрим взаимное расположение прямой l и данной окружности с центром O и радиусом R. Количество решений задачи зависит от числа общих точек прямой l и окружности.

Анализ количества решений (проверка).

Возможны три случая:

• Два решения. Если расстояние от центра окружности O до прямой l меньше радиуса R (d<R), то прямая является секущей и пересекает окружность в двух различных точках. Эти две точки являются искомыми.
• Одно решение. Если расстояние от центра O до прямой l равно радиусу R (d=R), то прямая касается окружности в одной точке. Эта единственная точка и будет решением.
• Ни одного решения. Если расстояние от центра O до прямой l больше радиуса R (d>R), то прямая и окружность не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решения.

Таким образом, количество возможных решений может быть равным двум, одному или нулю, в зависимости от исходных данных (положения отрезка относительно окружности).