ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 447: Теорема Пифагора

План решения.

Чтобы найти точку на прямой a, равноудалённую от точек A и B, вспомним геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек. Это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Искомая точка должна лежать одновременно на прямой a и на этом перпендикуляре. Следовательно, задача сводится к построению точки пересечения прямой a и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

Вычисление и построение.

1. Проведём отрезок AB.
2. Найдём середину отрезка AB (обозначим её M).
3. Через точку M проведём прямую l, перпендикулярную AB. Прямая l является серединным перпендикуляром.
4. Рассмотрим взаимное расположение прямой a и прямой l:
• Если прямые a и l пересекаются в некоторой точке P, то эта точка P лежит на a и на l. Так как P∈l, то PA=PB. Значит, точка P — искомая.
• Если прямые a и l параллельны (a∥l), то общих точек у них нет. В этом случае решение отсутствует.

Проверка и ответ на вопрос «Всегда ли задача имеет решение?».

Задача не всегда имеет решение. Решение существует только тогда, когда прямая a не параллельна серединному перпендикуляру к отрезку AB. Если же прямая a параллельна этому перпендикуляру, то ни одна точка на прямой a не будет равноудалена от A и B (за исключением случая, когда сама прямая a совпадает с перпендикуляром, но по условию a не проходит через A и B, а если бы она совпадала с перпендикуляром, то все точки на ней были бы равноудалены, что тоже даёт бесконечное множество решений, однако стандартная формулировка «построить точку» подразумевает единственность или существование хотя бы одной; при параллельности разных прямых решений нет). Таким образом, ключевой момент: если a⊥AB или a не параллельна серединному перпендикуляру, решение есть. Если a∥ серединному перпендикуляру, решения нет.