ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 445: Теорема Пифагора

План решения.

Задача на построение треугольника ABC по заданному периметру P, углу β при вершине B и высоте h_a, опущенной из вершины A на сторону BC. Для решения используем метод вспомогательного треугольника. Пусть искомый треугольник — ABC. Продолжим сторону CB за точку B на отрезок BD, равный стороне AB. Тогда треугольник ABD является равнобедренным (AB=BD), а угол β (угол ABC) является внешним углом этого треугольника. Следовательно, углы при основании △ABD равны: β₁=β₂=β/2. Теперь рассмотрим треугольник ADC. В нём известны: сторона AD? Нет, неизвестна. Но мы знаем высоту AH=h_a к прямой CD (так как H лежит на продолжении или самой стороне BC). Также известен периметр P=AB+BC+CA. Заметим, что CD=CB+BD=CB+AB. Тогда AC+CD=AC+CB+AB=P. Таким образом, в треугольнике ADC нам известна высота AH, сумма двух сторон AC+CD=P и угол β/2 при вершине D. Построить такой треугольник проще.

Пошаговое вычисление и построение.

1. Построим угол β/2 с вершиной в точке D. Одна из его сторон будет содержать прямую DC.
2. На другой стороне угла отложим произвольную длину? Нет, нужно использовать высоту. Проведём луч DA так, чтобы он составлял угол β/2 с лучом DC.
3. От точки D на луче DC отложим отрезок, длина которого не определена сразу. Лучше поступить иначе: построим прямоугольный треугольник AHD, где θ=β/2, а катет AH=h_a (высота).
4. В прямоугольном △AHD: гипотенуза AD=h_a/tan(β/2), если бы мы знали её. Но мы строим геометрически.
   • Проведём прямую l.
   • Построим перпендикуляр к ней в точке H и отложим на нём отрезок HA=h_a.
   • Через точку A проведём луч под углом β/2 к прямой l (или к перпендикуляру?). Угол β дан при вершине B. Вспомогательный угол при D равен β/2. Этот угол находится между стороной AD и основанием DC. Значит, в △AHD угол θ=β/2 при вершине D.
   • Строим △AHD: проводим луч DH (это часть прямой BC). Восстанавливаем перпендикуляр в H, откладываем HA=h_a. Соединяем A с точкой на луче DH так, чтобы θ=β/2. Точка пересечения луча из A с прямой DH даёт нам положение точки D относительно высоты? Нет, точка D фиксирована углом. Строим угол β/2 при вершине D? Мы не знаем, где D.
     Корректный алгоритм: 1. Построим угол β/2 с вершиной O. Пусть одна сторона — горизонтальная. 2. На одной стороне угла отложим произвольную точку H′? Нет. 3. Используем свойство: в △ADC высота AH=h_a, угол θ=β/2, сумма AC+CD=P. 4. Построим вспомогательный треугольник AKC, где K лежит на продолжении CD за C так, что CK=CA. Тогда △ACK равнобедренный, θ_K=θ_A/2? Нет. 5. Вернёмся к классическому способу для этой задачи. - Построим угол β/2. - Отложим на одной стороне угла отрезок DE, равный половине периметра? Нет. - Правильная схема: Построим прямоугольный треугольник AHD с острым углом β/2 при вершине D и катетом AH=h_a. Это возможно сделать однозначно (до подобия масштаба нет, но здесь фиксированы два элемента: угол и противолежащий катет? Нет, AH противолежит углу D? Да, в △AHD угол D=β/2, катет AH лежит против него. Гипотенуза AD и катет HD определяются однозначно). - После того как нашли D и A (относительно линии BC), мы имеем отрезок AD. Но нам нужно найти C. - В △ADC известно: сторона AD (построена), высота AH (уже есть), угол D=β/2. Нам нужно, чтобы AC+CD=P. - Продолжим CD за точку C на отрезок CE=CA. Тогда △ACE равнобедренный. Угол E=угол CAE. Внешний угол ACD=2 угол E. Это сложно. - Другой подход: На луче DC от точки D отложим отрезок DP=P. Точка C должна лежать на этом луче так, что AC+CD=P. Это значит, что AC=CP. То есть C лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AP? Нет, P — это конец отрезка длины P. Если отложить DP=P, то условие AC+CD=P превращается в AC=DP-CD=CP. Значит, △ACP равнобедренный (AC=CP). - Итого алгоритм: 1. Построить △AHD с углом β/2 при D и высотой AH=h_a. 2. На луче DH (продолжение стороны BC) отложить отрезок DP, равный данному периметру P. 3. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AP. Он пересечёт луч DP в точке C. 4. Найти точку B: так как AB=BD (по построению вспомогательного треугольника), точка B лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD? Нет, B лежит на отрезке CD? В исходной задаче D была получена продолжением CB за B. Значит, порядок точек на прямой: D-B-C-H или D-B-H-C? Высота AH падает на BC. В △ABD (AB=BD) медиана к основанию AD совпадает с высотой. Но у нас B лежит на прямой DC. Так как AB=BD, то B лежит на серединном перпендикуляре к AD. Пересечение этого перпендикуляра с отрезком DC даст точку B.

Проверка и обоснование.

Рассмотрим построенный треугольник ABC. По построению AHbotBC и AH=h_a. Угол β при вершине B: так как B лежит на серединном перпендикуляре к AD, то AB=BD. Треугольник ABD равнобедренный. Угол ADB=β/2 (по построению △AHD). Внешний угол ABC равен сумме внутренних несмежных: β=β/2+β/2. Всё верно. Периметр: P_ABC=AB+BC+AC. Так как AB=BD, то AB+BC=BD+BC=DC. Из построения точки C следует, что AC=CP, где P — точка на луче DC такая, что DP=P. Тогда DC+AC=DC+CP=DP=P. Следовательно, периметр треугольника равен заданному P. Задача решена.