ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 442: Теорема Пифагора

План решения.

Задача на построение треугольника по двум сторонам и высоте к третьей стороне сводится к последовательному выполнению нескольких базовых геометрических операций. Нам даны отрезки a, b (две стороны) и h (высота к третьей стороне). Третья сторона не известна заранее, поэтому её нельзя построить сразу. Однако мы знаем, что высота перпендикулярна основанию. Это позволяет нам сначала построить вспомогательный прямоугольный треугольник, используя одну из данных сторон как гипотенузу, а высоту как один из катетов. После этого можно будет найти положение вершины треугольника относительно основания.

Ход построения.

1. Проведем произвольную прямую l. На ней отметим точку H — основание высоты.
2. Восстановим перпендикуляр к прямой l в точке H. На этом перпендикуляре отложим отрезок AH=h. Точка A является одной из вершин искомого треугольника.
3. Теперь нужно найти положения точек B и C на прямой l. Для этого проведем окружность с центром в точке A и радиусом, равным стороне a. Эта окружность пересечет прямую l в двух точках (если a>h), обозначим одну из них B. Тогда AB=a.
4. Аналогично, проведем окружность с центром в точке A и радиусом, равным стороне b. Она пересечет прямую l также в двух точках (если b>h). Выберем точку C так, чтобы она отличалась от точки B и лежала на прямой l. Тогда AC=b.
5. Соединим точки A, B и C отрезками. Треугольник ABC — искомый.

Проверка и анализ условий существования.

Рассмотрим полученный треугольник ABC. По построению точка A удалена от прямой BC (которая совпадает с l) на расстояние h, значит, высота, проведенная из вершины A к стороне BC, равна заданной величине h. Стороны AB и AC равны заданным a и b соответственно, так как они являются радиусами построенных окружностей. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Задача имеет решение только при условии, что обе данные стороны больше высоты: a>h и b>h. Если хотя бы одна из сторон меньше или равна высоте, то соответствующая окружность не пересечет прямую l (или коснется её), и треугольник построить невозможно. При выполнении неравенств задача может иметь несколько решений в зависимости от выбора точек пересечения окружностей с прямой (например, если выбрать разные комбинации точек B и C слева и справа от H).