ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 439: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит этот угол между высотой и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C (∠C=90°). Пусть CD — биссектриса прямого угла, CH — высота, проведённая к гипотенузе AB, а CM — медиана, проведённая к гипотенузе AB. Нам нужно доказать, что биссектриса CD делит угол между высотой CH и медианой CM пополам, то есть ∠HCD=∠DCM.
Вычисление углов.
1. Так как CD — биссектриса прямого угла ∠ACB, то она образует с катетами равные углы: ∠ACD=∠BCD=45°. 2. Рассмотрим высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH (так как CH⊥AB) сумма острых углов равна 90°. Значит, ∠ACH=90°-∠A. 3. Рассмотрим медиану CM. Известно свойство медианы, проведённой к гипотенузе: она равна половине гипотенузы. Следовательно, CM=AM=BM. Треугольник AMC является равнобедренным с основанием AC. Поэтому углы при основании равны: ∠ACM=∠A. 4. Теперь найдём угол между биссектрисой CD и высотой CH. Предположим для определённости, что ∠A<∠B (катеты неравны). Тогда луч CH лежит ближе к стороне AC, чем луч CD? Нет, давайте проверим расположение лучей относительно стороны AC. Угол от стороны AC до высоты CH равен ∠ACH=90°-∠A. Угол от стороны AC до биссектрисы CD равен ∠ACD=45°. Угол от стороны AC до медианы CM равен ∠ACM=∠A. Так как в прямоугольном треугольнике с неравными катетами один острый угол меньше другого, пусть ∠A<45°. Тогда порядок лучей от стороны AC: сначала медиана CM (угол ∠A), затем биссектриса CD (угол 45°), затем высота CH (угол 90°-∠A>45°). Найдём величину угла ∠MCD (между медианой и биссектрисой): ∠MCD=∠ACD-∠ACM=45°-∠A. Найдём величину угла ∠DCH (между биссектрисой и высотой): ∠DCH=∠ACH-∠ACD=(90°-∠A)-45°=45°-∠A. Если же ∠A>45°, то порядок лучей меняется на обратный относительно биссектрисы, но разность модулей углов останется той же самой по абсолютной величине. Например, если ∠A>45°, то ∠ACM>45° и ∠ACH<45°. Тогда: ∠MCD=∠ACM-∠ACD=∠A-45°, ∠DCH=∠ACD-∠ACH=45°-(90°-∠A)=∠A-45°. В обоих случаях ∠MCD=∠DCH.
Проверка и вывод.
Мы получили, что угол между медианой и биссектрисой равен углу между биссектрисой и высотой. Это означает, что биссектриса CD действительно делит угол ∠HCM пополам. Утверждение доказано.
Ключевые моменты: использование свойств медианы к гипотенузе (равнобедренный треугольник) и связи острых углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 439 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 439?
Краткий ответ: Доказательство: Пусть A = . Тогда ACM = (свойство медианы), ACD = 45^ (биссектриса), ACH = 90^ - (высота). Углы между биссектрисой и другими лучами: |45^ - | и |(90^ - ) - 45^ | = |45^ - |. Они равны.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.