ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 440: Теорема Пифагора

План доказательства.

Пусть в треугольнике ABC из вершины A проведены медиана AM и высота AH. По условию они делят угол BAC на три равные части. Обозначим величину каждого из этих углов через α. Таким образом, ∠BAH=∠HAM=∠MAC=α, а весь угол ∠BAC=3α. Наша цель — доказать, что один из углов треугольника равен 90^°. Мы воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30^°. Также используем свойства медианы и подобия или равенства треугольников.

Ход решения.

1. Рассмотрим треугольник ABH. Так как AH — высота, то ∠AHB=90^°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^°, поэтому: ∠B=90^°-∠BAH=90^°-α
2. Теперь рассмотрим треугольник AHC. Здесь также ∠AHC=90^°. Угол ∠HAC состоит из двух частей: ∠HAM+∠MAC=α+α=2α. Следовательно, угол C равен: ∠C=90^°-∠HAC=90^°-2α
3. Воспользуемся подсказкой: проведём перпендикуляр MD к стороне AC (D лежит на AC). Рассмотрим треугольник MDC. Он прямоугольный (∠MDC=90^°). Так как AM — биссектриса угла HAC (поскольку ∠HAM=∠MAC=α), то точка M равноудалена от сторон угла HAC. Расстояние от M до стороны AH равно длине отрезка MH (так как MH⊥AH? Нет, AH⊥BC, значит MH лежит на прямой BC, которая перпендикулярна AH. Да, расстояние от точки M до прямой AH есть длина проекции M на перпендикуляр к AH. Проще использовать свойство биссектрисы: любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Стороны угла HAC — это лучи AH и AC. Значит, расстояние от M до AH равно расстоянию от M до AC. Расстояние от M до AC по построению равно MD. Расстояние от M до AH: так как AH⊥BC, а M лежит на BC, то перпендикуляром к AH является сама прямая BC. Длина перпендикуляра от M до AH равна MH. Следовательно, MD=MH.
4. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и MBH? Нет, давайте посмотрим на треугольник AMH и AMD. Они равны по гипотенузе и острому углу (AM общая, ∠MAH=∠MAD=α). Отсюда MH=MD и AH=AD.
5. Вернёмся к соотношению сторон. В прямоугольном треугольнике MDC катет MD лежит против угла C. Мы знаем, что ∠C=90^°-2α. Также рассмотрим треугольник BMH. Это прямоугольный треугольник с углом ∠BHM=90^°. Угол при вершине B равен 90^°-α. Тогда ∠BMH=α. Из равенства △AMH=△AMD следует MH=MD. Давайте выразим MC через MD. В △MDC: sin(∠C)=MD/MC. То есть MC=MD/sin(90^°-2α)=MD/cos(2α). Это путь сложный. Попробуем другой, более геометрический подход, опираясь на ключевую идею «MD=1/2MC». Если мы докажем, что MD=1/2MC, то в прямоугольном треугольнике MDC катет MD равен половине гипотенузы MC. Это возможно только тогда, когда угол напротив этого катета равен 30^°. То есть ∠C=30^°. Проверим, верно ли это утверждение. Мы установили, что MH=MD. Рассмотрим △ABH и △MBH? Нет. Посмотрим на △ABC. AM — медиана, значит BM=MC. В прямоугольном △ABH: BH=AH·tan(α). В прямоугольном △AHC: HC=AH·tan(2α). Так как M — середина BC, то BM=MC=BH+HC/2. Также MH=|HC-MC|=|HC-BH+HC/2|=|HC-BH/2|. Или MH=|MC-HC|? Нет, порядок точек на прямой BC: B,H,M,C или B,M,H,C? Углы: ∠B=90-α, ∠C=90-2α. Если α>0, то ∠B>∠C, значит сторона AC>AB. Высота падает ближе к большей стороне? Нет, в остроугольном треугольнике основание высоты делит сторону на отрезки, пропорциональные котангенсам углов. BH=ccosB, HC=bcosC. Проще: MH=MD. Нам нужно связать MD и MC. В △MDC угол ∠MCD=∠C=90^°-2α. MD=MC·sin(90^°-2α)=MC·cos(2α). С другой стороны, MH=MD. Выразим MH через MC и другие величины. M — середина BC. H — основание высоты. MH=|BM-BH|=|MC-BH|. BH=AHcot(∠B)=AHcot(90^°-α)=AHtan(α). HC=AHcot(∠C)=AHcot(90^°-2α)=AHtan(2α). BC=BH+HC=AH(tanα+tan2α). MC=BC/2=AH/2(tanα+tan2α). MH=HC-MC=AHtan2α-AH/2(tanα+tan2α)=AH/2(tan2α-tanα). Приравняем MD=MH: MCcos2α=AH/2(tan2α-tanα). Подставим MC: AH/2(tanα+tan2α)cos2α=AH/2(tan2α-tanα). Сократим AH/2: (tanα+tan2α)cos2α=tan2α-tanα. Раскроем тангенсы через синусы и косинусы: (sinα/cosα+sin2α/cos2α)cos2α=sin2α/cos2α-sinα/cosα. Левая часть: sinαcos2α+sin2αcosα/cosαcos2α·cos2α=sin(α+2α)/cosα=sin3α/cosα. Правая часть: sin2αcosα-sinαcos2α/cos2αcosα=sin(2α-α)/cos2αcosα=sinα/cos2αcosα. Приравниваем: sin3α/cosα=sinα/cos2αcosα. Умножаем обе части на cosα (он не ноль): sin3α=sinα/cos2α. sin3αcos2α=sinα. Используем формулу произведения синуса и косинуса: 2sinxcosy=sin(x+y)+sin(x-y). 1/2[sin(5α)+sin(α)]=sinα. sin5α+sinα=2sinα. sin5α=sinα. Общее решение уравнения sin5α=sinα: 1) 5α=α+2πk⇒4α=2πk⇒α=πk/2. Для треугольника α>0 и 3α<π (сумма углов). Если k=1, α=π/2=90^°, тогда угол A=270^° — невозможно. 2) 5α=π-α+2πk⇒6α=π(1+2k)⇒α=π(1+2k)/6. При k=0: α=π/6=30^°. Тогда угол A=3α=90^°. При k=1: α=3π/6=90^° — невозможно. Значит, единственное возможное значение для невырожденного треугольника: α=30^°. Следовательно, угол ∠BAC=3·30^°=90^°.

Проверка.

Если треугольник прямоугольный с углом A=90^°, то ∠B+∠C=90^°. Медиана AM к гипотенузе BC равна половине гипотенузы: AM=BM=MC. Треугольник AMC — равнобедренный (AM=MC), поэтому ∠MAC=∠C. Высота AH к гипотенузе образует угол ∠HAC=90^°-∠C=∠B. По условию задача требует, чтобы ∠BAH=∠HAM=∠MAC. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠BAH=90^°-∠B=∠C. Итак, у нас есть три угла: 1) ∠BAH=∠C 2) ∠MAC=∠C (из равнобедренного △AMC) 3) ∠HAM=∠BAC-∠BAH-∠MAC=90^°-∠C-∠C=90^°-2∠C. Чтобы все три были равны, должно выполняться: ∠C=90^°-2∠C⇒3∠C=90^°⇒∠C=30^°. Тогда ∠B=60^°. Проверим углы при вершине A: ∠BAH=30^°. ∠MAC=30^°. ∠HAM=90^°-30^°-30^°=30^°. Все три части равны 30^°. Условие выполнено. Таким образом, треугольник действительно должен быть прямоугольным (с углом 90^° при вершине A).