ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 441: Теорема Пифагора

План решения.

Для доказательства утверждения воспользуемся формулами площади треугольника. Площадь S можно выразить через основание и соответствующую ему высоту: S=1/2·BC·AA₁ и S=1/2·AC·BB₁. Из условия задачи известно, что AA₁≥BC и BB₁≥AC. Нам нужно показать, что эти неравенства могут выполняться одновременно только в одном случае — когда треугольник является равнобедренным прямоугольным.

Вычисление и логический вывод.

Запишем выражения для высот через площадь и стороны:

Подставим эти выражения в данные неравенства:

С другой стороны, площадь треугольника также равна S=1/2AC·BC·sinC. Тогда 2S=AC·BC·sinC. Поскольку синус угла не превышает единицы (sinC≤1), то:

Объединяя полученные соотношения, имеем систему:

Из двух последних неравенств (BC≤AC и AC≤BC) следует, что AC=BC. Треугольник ABC — равнобедренный.

Теперь подставим равенство сторон обратно в условие на площадь. Так как AC=BC, то 2S≤AC². Но из первого пункта мы знаем, что 2S≥BC²=AC². Следовательно, должно выполняться равенство 2S=AC². Вспомним, что 2S=AC·BC·sinC. При AC=BC это дает AC²sinC=AC², откуда sinC=1. Это возможно только если угол C=90^°.

Проверка.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами a. Гипотенуза равна a2. Высота к гипотенузе равна половине гипотенузы (так как медиана к гипотенузе в таком треугольнике является и высотой): h_c=a2/2=a/2. Это не подходит под условие "высота не меньше стороны", так как a/2<a. Однако в условии речь идет о высотах AA₁ и BB₁. В прямоугольном треугольнике с прямым углом при вершине C, высоты AA₁ и BB₁ совпадают с катетами AC и BC соответственно? Нет, AA₁ — это высота, опущенная из A на BC. Если угол C=90^°, то сторона AC перпендикулярна BC, значит, высота AA₁ совпадает со стороной AC. Аналогично, высота BB₁ совпадает со стороной BC. Условие: AA₁≥BC. Так как AA₁=AC, то AC≥BC. Условие: BB₁≥AC. Так как BB₁=BC, то BC≥AC. Отсюда AC=BC. Треугольник равнобедренный. Угол C прямой по построению высот. Все сходится.