ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 443: Теорема Пифагора

План решения.

Для построения прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C (так как дан острый угол B, а биссектриса исходит из него в гипотенузу или катет? В стандартной задаче на построение по углу и биссектрисе обычно подразумевается, что угол B — это один из острых углов, а BD — биссектриса этого угла, проведенная к противоположной стороне. Однако, чтобы построить треугольник однозначно, нужно использовать свойства биссектрисы и параллельных прямых или окружностей. Наиболее надежный метод для школьной геометрии: использование вспомогательного треугольника или свойство точек, равноудаленных от сторон угла).

Рассмотрим классический алгоритм построения:

1. Строим заданный острый угол ∠B.
2. На одной из сторон угла откладываем отрезок, равный длине данной биссектрисы BD. Но мы не знаем, где будет точка D относительно других элементов. Лучше использовать другой подход: построение через центр вписанной окружности или симметрию.

Более простой и строгий способ для 7-9 классов:

1. Построим прямой угол ∠C=90^°. Для этого проведем две перпендикулярные прямые, точку пересечения обозначим C.
2. Из точки C проведем луч так, чтобы он образовывал с одной из сторон прямого угла заданный угол B? Нет, угол B находится в вершине B. Значит, сначала строим угол B.

Пошаговое вычисление и построение.

1. Построим произвольную прямую и на ней отметим точку B. Из точки B под данным острым углом β проведем луч BA.

2. Нам нужно найти положение точки A и точки C так, чтобы ∠C=90^° и длина биссектрисы BD была равна заданному значению l.

3. Воспользуемся свойством: биссектриса угла делит его пополам. Построим биссектрису угла B в нашем вспомогательном чертеже. На этой биссектрисе отложим отрезок BD′=l (заданная длина биссектрисы). Точка D′ — это будущая точка пересечения биссектрисы со стороной AC.

4. Теперь нам нужно восстановить треугольник. Через точку D′ проведем прямую, которая будет содержать сторону AC. Эта сторона должна быть такой, чтобы проекция D′ на стороны угла давала правильный треугольник? Нет, проще:

Через точку D′ проведем прямую, перпендикулярную одной из сторон угла B? Не обязательно.

Давайте используем алгебраический/геометрический факт: В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90^°) биссектриса BD проведена к катету AC. Тогда △BCD — прямоугольный. Угол ∠CBD=β/2. Катет BC можно найти из △BCD: BC=BD·cos(β/2). Гипотенуза BD известна (l), угол известен. Значит, катет BC определен однозначно!

Алгоритм построения:

• Построим угол α=β/2 (половина заданного острого угла B).
• Построим прямоугольный треугольник KBL с гипотенузой KL=l (данная биссектриса) и острым углом ∠KBL=α. В этом вспомогательном треугольнике катет KB равен искомому катету BC исходного треугольника, так как в △BCD угол при B равен β/2, а гипотенуза BD=l. Следовательно, BC=l·cos(β/2).
• Теперь у нас есть длина катета BC и величина угла B.
• Построим прямой угол при вершине C. Отложим на одной из сторон прямого угла отрезок CB, равный найденному катету.
• Из точки B восстановим перпендикуляр к CB? Нет, угол B уже задан. Проведем из точки B луч под углом β к отрезку BC.
• Этот луч пересечет другую сторону прямого угла (прямую, проходящую через C перпендикулярно BC) в точке A.
• Треугольник ABC построен.

Проверка.

В полученном треугольнике ABC: ∠C=90^° (по построению). ∠B=β (по построению). Биссектриса BD делит угол B пополам. В прямоугольном треугольнике BCD катет BC лежит против угла ∠BDC? Нет, BC прилегает к углу ∠CBD=β/2. Гипотенуза BD связана с катетом BC соотношением BC=BD·cos(β/2). Мы построили BC именно таким образом, используя вспомогательный треугольник с гипотенузой l и углом β/2. Следовательно, длина биссектрисы BD в итоговом треугольнике будет равна l. Условия задачи выполнены.