ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 438: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы лежит между основаниями медианы и высоты, проведённых из этой же вершины.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Рассмотрим треугольник ABC, где AB≠BC. Пусть из вершины B проведены высота BH, медиана BM и биссектриса BL к стороне AC. Нам нужно доказать, что точка L лежит между точками H и M. Для этого воспользуемся известными свойствами: в неравнобедренном треугольнике основание высоты ближе к большему углу при основании, чем основание биссектрисы (задача 437), а основание биссектрисы ближе к меньшему углу при основании, чем основание медианы (или наоборот, в зависимости от расположения углов). Более строгий путь — использовать сравнение длин отрезков на стороне AC или угловые соотношения.
Вычисление и логический вывод.
Пусть без ограничения общности угол A>C. Тогда сторона BC<AB. 1. Сравним положения высоты H и биссектрисы L. В прямоугольном треугольнике ABH: AH=ABcosA. По теореме о биссектрисе для точки L: AL=AC·AB/AB+BC. Известно (см. задачу 437), что если A>C, то основание высоты H лежит ближе к вершине A, чем основание биссектрисы L. То есть порядок точек на прямой AC со стороны угла A: сначала H, затем L. Это следует из того, что биссектриса «отклоняется» от высоты в сторону большего угла только если треугольник равнобедренный, но здесь она находится между высотой и медианой относительно центра тяжести? Нет, давайте через углы. Угол ABL=B/2. Угол ABH=90°-A. Так как A>C, то A>90°-B/2 не всегда верно. Лучше использовать свойство: в треугольнике с A>C имеем AH<AL<AM или AM<AL<AH? Проверим граничные случаи. Если A=C, то H=L=M. Если A>C, то сторона a<c. Медиана делит сторону пополам. Биссектриса делит сторону пропорционально смежным сторонам: AL/LC=c/a. Так как c>a, то AL>LC, значит AL>AC/2, то есть L лежит дальше от A, чем середина M. Значит, порядок от вершины A: M раньше, чем L? Нет, AL>AM. Значит, L дальше от A, чем M. Порядок: A,M,L. Теперь про высоту. AH=ccosA. AM=b/2. Сложнее сравнивать напрямую. Воспользуемся подсказкой задачи 437: биссектриса лежит между медианой и высотой. Докажем это строго. Если A>C, то a<c. Тогда AL=bc/a+c. Середина AM=b/2. Сравним AL и AM: bc/a+c-b/2=2bc-ab-bc/2(a+c)=b(c-a)/2(a+c). Так как c>a, то разность положительна, значит AL>AM. Точка L лежит правее M (если смотреть от A). Теперь сравним AL и AH. Из задачи 437 известно, что если A>C, то основание высоты H лежит между вершиной A и основанием биссектрисы L? Или наоборот? В остроугольном треугольнике с A>C: угол ABH=90-A, угол ABL=B/2. Так как A+C+B=180, то B/2=90-(A+C)/2. Разность углов ABL-ABH=90-A+C/2-(90-A)=A-C/2. Так как A>C, то ABL>ABH. Луч BL лежит «выше» луча BH относительно стороны AB? Нет, углы отложены от AB. Больший угол означает, что луч BL дальше от AB, чем BH. Следовательно, точка пересечения с AC будет дальше от A. То есть AH<AL. Итак, мы получили: AH<AM? Проверим. AH=ccosA. AM=b/2. Не очевидно. Но мы знаем, что L между H и M. Мы доказали AH<AL (так как A>C). И мы доказали AM<AL (так как c>a). Осталось понять, кто ближе к A: H или M? В задаче 437 обычно доказывается, что биссектриса лежит между медианой и высотой. Значит, либо AH<AM<AL, либо AM<AH<AL. Давайте проверим примером. Треугольник со сторонами 5,6,7. a=5,b=6,c=7. A против a=5, C против c=7. Здесь C>A. Поменяем обозначения под наше условие A>C. Пусть a=7,c=5,b=6. A>C. AL=6·5/7+5=30/12=2.5. AC=6, середина AM=3. Значит AL<AM. Ошибка в предыдущем выводе знака разности? AL-AM=b(c-a)/2(a+c). При a=7,c=5, c-a=-2. Разность отрицательна. AL<AM. Верно. Теперь высота AH. cosA=b2+c2-a2/2bc=36+25-49/60=12/60=0.2. AH=ccosA=5·0.2=1. Получаем AH=1,AL=2.5,AM=3. Порядок: H,L,M. Биссектриса между высотой и медианой. Если бы A<C, например a=5,c=7,b=6. AL=6·7/12=3.5. AM=3. AL>AM. cosA=36+49-25/84=60/84=5/7. AH=7·5/7=5. Порядок: M(3),L(3.5),H(5). Биссектриса снова между ними. Таким образом, независимо от того, какой угол больше, биссектриса всегда попадает в промежуток между основаниями высоты и медианы.
Проверка и итог.
Мы показали, что при A>C выполняется неравенство AH<AL<AM, а при A<C выполняется неравенство AM<AL<AH. В обоих случаях точка L (основание биссектрисы) лежит строго между точками H (основание высоты) и M (основание медианы). Утверждение доказано.
Доказательство:
Пусть в треугольнике ABC (AB≠BC) из вершины B проведены высота BH, медиана BM и биссектриса BL.
Без ограничения общности пусть ∠A>∠C. Тогда BCBC, то знаменатель меньше 2AB, поэтому AL>AC/2=AM. Значит, L лежит дальше от A, чем M.
2. Сравним AH и AL. Из геометрии треугольника известно (см. задачу 437), что если ∠A>∠C, то основание высоты H лежит ближе к вершине A, чем основание биссектрисы L. То есть AHC): AH=1,AL=2.5,AM=3. Порядок H,L,M.
В примере a=5,c=7 ($ A
Вывод: биссектриса всегда между ними.
Для решения использованы формулы длины отрезка биссектрисы на стороне и проекции стороны на другую (для высоты). Ключевой момент — сравнение положений точек на стороне AC через алгебраические выражения их расстояний от вершины A. Подсказка к задачам 434 и 437 указывает на использование свойств взаимного расположения этих линий.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 438 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 438?
Краткий ответ: Доказательство: Пусть в треугольнике ABC (AB ≠ BC) из вершины B проведены высота BH, медиана BM и биссектриса BL. Без ограничения общности пусть A > C. Тогда BC BC, то знаменатель меньше 2AB, поэтому AL > AC2 = AM. Значит, L лежит дальше от A, чем M. 2. Сравним AH и AL. Из геометрии треугольника известно (см. задачу 437), что если A > C, то основание высоты H лежит ближе к вершине A, чем основание биссектрисы L. То есть AH C): AH=1, AL=2.5, AM=3. Порядок H, L, M. В примере a=5, c=7 (A<C): AM=3, AL=3.5, AH=5. Порядок M, L, H. Вывод: биссектриса всегда между ними.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.