ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 434: Теорема Пифагора

План доказательства.

Пусть дан треугольник ABC, в котором стороны AB и AC не равны. Без ограничения общности предположим, что AB<AC. Медиана AM проведена из вершины A к стороне BC. Нам нужно доказать, что угол между медианой и меньшей стороной больше угла между медианой и большей стороной, то есть AMB>AMC (или MAB>MAC, если рассматривать углы при вершине M, но по условию речь об углах с сторонами треугольника, значит BAM>CAM).

Вычисление и логический вывод.

Продлим медиану AM за точку M на отрезок MD, равный AM. Соединим точки D и C. Рассмотрим треугольники AMB и DMC: 1) BM=MC, так как AM — медиана. 2) AM=MD по построению. 3) AMB=DMC как вертикальные углы. Следовательно, △AMB=△DMC по первому признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что соответствующие элементы равны: AB=DC и BAM=CDM (обозначим этот угол как β). Теперь рассмотрим треугольник ADC. По условию AB<AC. Так как AB=DC, то DC<AC. В треугольнике ADC против меньших сторон лежат меньшие углы. Поскольку DC<AC, то угол, лежащий против стороны DC (это DAC), меньше угла, лежащего против стороны AC (это ADC). То есть DAC<ADC. Заметим, что ADC состоит из двух частей? Нет, ADC — это угол при вершине D в треугольнике ADC. Но мы знаем, что ADC=ADM+MDC? Нет, точка M лежит на AD. Угол ADC совпадает с углом ADM? Нет, D,M,A коллинеарны. Угол ADC — это угол между AD и DC. В нашем случае ADC обозначает угол ADC в треугольнике ADC. Из равенства треугольников мы получили BAM=CDM. Обозначим CDM=β. Тогда BAM=β. Вернемся к неравенству в △ADC: DC<ACRightarrowDAC<ADC. Угол ADC в треугольнике ADC — это тот же самый угол, что и CDM (так как A,M,D лежат на одной прямой). Значит, ADC=β. Таким образом, DAC<β. Но β=BAM. Следовательно, DAC<BAM. Осталось понять связь DAC с искомым углом CAM. Так как A,M,D лежат на одной прямой, луч AD совпадает с лучом AM. Поэтому угол DAC — это угол между прямой AM и стороной AC, то есть MAC или CAM. Итак, мы получили CAM<BAM. Это означает, что медиана составляет с меньшей стороной (AB) больший угол (BAM), чем с большей стороной (AC).

Проверка.

Если бы AB=AC, то треугольник был бы равнобедренным, медиана была бы биссектрисой, и углы были бы равны. Неравенство сторон строго приводит к неравенству углов через метод достраивания до параллелограмма (или удвоения медианы). Логика корректна: меньшая сторона соответствует меньшему противолежащему углу в построенном треугольнике, который оказывается равным углу при основании исходного треугольника, связанным с большей стороной.