ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 430: Теорема Пифагора

План доказательства.

Нам дан треугольник ABC, в котором BB₁ — биссектриса угла B. Точка B₁ лежит на стороне AC. Нужно доказать два неравенства: BA>B₁A и BC>B₁C. Для этого воспользуемся свойством углов при основании равнобедренного треугольника и теоремой о том, что против большего угла лежит большая сторона. Также можно использовать метод продолжения отрезков или сравнение углов непосредственно в полученных треугольниках.

Ход решения.

Рассмотрим треугольник ABA₁ (где A₁ — это точка B₁ на стороне AC). В треугольнике ABB₁ угол ABB₁ равен половине угла B, так как BB₁ — биссектриса. Обозначим angleABC=β. Тогда angleABB₁=β/2. Вспомним теорему об внешнем угле треугольника для треугольника BCC₁? Нет, проще рассмотреть углы при вершине B₁. Угол angleAB₁B является внешним для треугольника BCC₁? Не совсем. Давайте посмотрим на углы angleAB₁B и angleCB₁B. Они смежные, их сумма 180^p. Более надежный способ, часто используемый в таких задачах (как подсказывает ключ про задачу 321, которая обычно связана со свойствами биссектрисы или медианы):
Сравним углы angleBA₁B (то есть angleBB₁A) и angleBAA₁ (то есть angleBAC). Однако, самый прямой путь через свойства углов:
В треугольнике ABB₁: сторона BA лежит против угла angleBB₁A. Сторона B₁A лежит против угла angleABB₁=β/2. Чтобы доказать BA>B₁A, нужно доказать, что angleBB₁A>angleABB₁. Рассмотрим угол angleBB₁A. Он является внешним углом для треугольника BCC₁? Нет, для треугольника BCB₁? Угол angleBB₁A — внешний угол треугольника BCB₁ при вершине B₁? Да, angleBB₁A=angleBCB₁+angleCBC₁? Нет, angleBB₁A=angleC+angleCB₁B? Это неверно. Верное утверждение: angleBB₁A — внешний угол треугольника BCB₁ относительно вершины B₁? Нет, A,B_1,C лежат на одной прямой. Значит, angleBB₁A+angleBB₁C=180^p. Давайте используем другой подход, более стандартный для 7-9 классов.
Проведем прямую, параллельную BB₁ через точку A? Или просто сравним углы. Известный факт: биссектриса внутреннего угла треугольника пересекает противоположную сторону в точке, которая ближе к меньшему из прилежащих углов? Нет. Давайте докажем через углы.
Пусть angleA=alpha, angleC=gamma, angleB=beta. В triangleABB₁: angleABB₁=beta/2. angleAB₁B=180^p-alpha-beta/2. Нужно сравнить angleAB₁B и angleABB₁. Если angleAB₁B>angleABB₁, то AB>AB₁. Это не всегда очевидно без дополнительных условий. Но в условии задачи нет ограничений на форму треугольника. Значит, доказательство должно быть универсальным.
Вспомним подсказку: «Продолжить отрезок...». Обычно в таких задачах про биссектрису используют построение симметричного треугольника или параллелограмма. Попробуем такой прием:
Отложим на луче BA отрезок BD=BC. Треугольник CBD равнобедренный (BC=BD), а BB₁ — биссектриса угла B, значит, она является также медианой и высотой к основанию CD. То есть BB₁perpCD и B₁ — середина CD? Нет, B₁ лежит на AC, а не на CD. Этот путь сложен. Вернемся к классическому доказательству через сравнение углов с использованием внешнего угла.
Рассмотрим triangleABB₁. Угол angleBB₁C является внешним для triangleABB₁? Нет, он смежный с angleBB₁A. Угол angleBB₁A является внешним для triangleCBB₁. Значит, angleBB₁A=angleC+angleCB₁B? Нет, angleBB₁A=angleBCB₁+angleCBC₁? Нет. Правильная формула внешнего угла: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
Для triangleCBB₁: внешний угол при вершине B₁ — это angleAB₁B. Следовательно, angleAB₁B=angleC+angleCB₁B? Нет, angleAB₁B=angleBCB₁+angleCBC₁? Нет, углы при основании C и B. angleAB₁B=angleC+angleCB₁B? Нет, angleAB₁B=angleC+angleB₁BC. Так как BB₁ — биссектриса, то angleB₁BC=beta/2. Итак, angleAB₁B=gamma+beta/2. Теперь сравним angleAB₁B и angleABB₁ в triangleABB₁. angleABB₁=beta/2. angleAB₁B=gamma+beta/2. Очевидно, что gamma+beta/2>beta/2, так как gamma>0 (угол треугольника). Значит, angleAB₁B>angleABB₁. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Угол angleAB₁B лежит против стороны AB (или BA). Угол angleABB₁ лежит против стороны AB₁ (или B₁A). Следовательно, BA>B₁A. Первое неравенство доказано. Аналогично доказывается второе неравенство. Рассмотрим triangleCBB₁. Угол angleCB₁B является внешним для triangleABB₁. angleCB₁B=angleA+angleABB₁=alpha+beta/2. В triangleCBB₁: angleCBB₁=beta/2. angleCB₁B=alpha+beta/2. Так как alpha>0, то angleCB₁B>angleCBB₁. Угол angleCB₁B лежит против стороны CB (или BC). Угол angleCBB₁ лежит против стороны CB₁ (или B₁C). Следовательно, BC>B₁C.

Проверка и вывод.

Мы использовали свойство внешнего угла треугольника и тот факт, что все внутренние углы треугольника положительны.
1. Для первой части: angleAB₁B=angleC+angleCBB₁>angleCBB₁=angleABB₁. Отсюда AB>AB₁.
2. Для второй части: angleCB₁B=angleA+angleABB₁>angleABB₁=angleCBB₁. Отсюда CB>CB₁.
Доказательство корректно и не требует дополнительных построений, кроме понимания структуры углов.