ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 429: Теорема Пифагора

План доказательства.

Пусть дан треугольник ABC и отрезок MN, концы которого лежат на разных сторонах треугольника. Без ограничения общности предположим, что точка M лежит на стороне AB, а точка N — на стороне AC. Нам нужно доказать, что длина отрезка MN не превышает длины наибольшей стороны треугольника ABC. Для этого воспользуемся свойством: в любом треугольнике сторона, лежащая против большего угла, больше другой стороны (или равна ей, если углы равны). Также будем использовать тот факт, что угол при вершине треугольника меньше или равен сумме смежных с ним углов внутри треугольника, образованного секущей.

Ход вычислений и рассуждений.

Рассмотрим треугольник AMN. По условию задачи 178 (или известному геометрическому факту), если соединить одну из концов отрезка с вершиной, то можно сравнить углы. Однако более прямой путь — рассмотреть положение точек относительно сторон. Случай 1: Отрезок MN параллелен третьей стороне BC. Тогда треугольник AMN подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия k=AM/AB<1 (так как M лежит на стороне AB, но не совпадает с B, иначе это была бы вершина). Следовательно, MN=k·BC<BC. Так как BC является одной из сторон треугольника, то MN меньше этой стороны, а значит, тем более меньше или равен наибольшей стороне. Случай 2: Общий случай. Пусть a,b,c — стороны треугольника ABC, где c=AB, b=AC, a=BC. Точка M на AB, точка N на AC. Рассмотрим треугольник AMN. Угол △A общий для треугольников ABC и AMN. Воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами. В треугольнике ABC пусть наибольшая сторона — a (BC). Тогда угол A может быть любым, но важно другое: любой отрезок, соединяющий две стороны треугольника, «вписан» в него. Более строгое доказательство через проекции или неравенства: Длина отрезка MN ограничена длиной ломаной MB+BN? Нет, это сложно. Вернемся к указанию: «Соединить один из концов отрезка с вершиной». Пусть мы соединили M с C. Получили треугольник MNC. В нем MN<MC+CN. Это не дает нужного результата напрямую. Давайте используем свойство выпуклости. Треугольник выпуклый. Любая хорда (отрезок с концами на границе) короче диаметра множества? Для треугольника «диаметром» является наибольшая сторона. Докажем, что MN≤max(AB,BC,CA). Предположим обратное: пусть MN>AB, MN>BC и MN>CA. Это невозможно, так как M и N лежат на сторонах. Стандартное школьное доказательство: Пусть наибольшая сторона треугольника ABC есть BC=a. Докажем, что MN≤a. Если MN параллельно BC, то MN<BC (см. Случай 1). Если MN не параллельно BC, продлим MN до пересечения со стороной BC в точке K (если возможно) или рассмотрим проекцию. Проще всего опираться на задачу 178, которая обычно формулируется так: *«Из всех отрезков, соединяющих точку на одной стороне угла с точкой на другой стороне, наименьшим является перпендикуляр...»* — нет, это не то. Задача 178 в многих учебниках (например, Атанасян) гласит: *«В равнобедренном треугольнике...»* или про медианы. Однако ключевая идея указания: «воспользоваться соотношениями между сторонами и углами». Рассмотрим треугольник AMN. Пусть △AMN имеет стороны x=AM,y=AN и z=MN. По теореме косинусов: MN²=AM²+AN²-2·AM·AN·cosA Так как M лежит на AB, то AM≤AB. Так как N лежит на AC, то AN≤AC. Функция f(u,v)=u²+v²-2uvcosA возрастает по модулю u и v при фиксированном угле A (для острых и тупых углов поведение аналогично в пределах сторон). Максимальное значение MN достигается, когда AM и AN максимальны, то есть когда M=B и N=C. В этом случае MN=BC. Если хотя бы одна точка смещается внутрь стороны, длина MN уменьшается (так как проекция вектора MN на направление, перпендикулярное биссектрисе угла A, меняется, либо просто по монотонности расстояния от вершины). Более строго: зафиксировам точку M на AB. Длина MN как функция положения N на AC минимальна при перпендикуляре, а максимальна на концах отрезка AC. То есть для любого N∈AC, MN≤max(MA,MC)? Нет, MN≤max(MA,MC) неверно. Но верно, что MN≤max(AB,BC,CA). Давайте проверим граничные случаи. 1. Если M=A,N=A, то MN=0. 2. Если M=B,N=C, то MN=BC. 3. Если M движется от A к B, а N от A к C, то MN непрерывно изменяется. Используем неравенство треугольника для многоугольника AMNB? Нет. Рассмотрим проекцию отрезка MN на сторону BC? Неудобно. Вернемся к логике: Наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими замкнутому треугольнику, достигается на его вершинах. Это следует из того, что функция расстояния выпукла, а максимум выпуклой функции на выпуклом множестве (треугольнике) достигается в экстремальных точках (вершинах). Вершины треугольника образуют пары, расстояния между которыми равны длинам сторон. Таким образом, максимальная длина отрезка с концами на сторонах (включая вершины) равна длине наибольшей стороны. Для школьного уровня (7-9 класс) доказательство через «монотонность»: Пусть M на AB, N на AC. Зафиксируем M. При движении N от A к C, длина MN сначала может уменьшаться (если опустить перпендикуляр из M на AC попадет внутрь отрезка), а затем увеличиваться. Максимум будет достигнут либо в точке A, либо в точке C. Значит, MN≤max(MA,MC). Теперь фиксируем N в точке C. Тогда MC — это отрезок, соединяющий вершину C с точкой M на стороне AB. Аналогично, при движении M от A к B, длина MC достигает максимума на концах отрезка AB, то есть в точках A или B. Значит, MC≤max(CA,CB). Объединяя: MN≤max(MA,MC)≤max(MA,CA,CB). Так как MA≤AB, то MN≤max(AB,AC,BC). Это и есть доказательство.

Проверка.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, гипотенузой 5. Наибольшая сторона 5. Возьмем середину катета 3 (M) и середину катета 4 (N). Расстояние MN=1.5²+2²=2.25+4=6.25=2.5. 2.5<5. Верно. Возьмем вершину прямого угла (A) и конец гипотенузы (B). Отрезок AB=3. 3<5. Верно. Возьмем концы гипотенузы (B и C). Отрезок BC=5. 5≤5. Верно. Логика «максимум на концах» подтверждается.