ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 425: Теорема Пифагора

План решения.

Для доказательства равенства углов трёх новых треугольников необходимо выразить их углы через углы исходного треугольника ABC. Обозначим углы при вершинах A, B и C как β_1,β_2,β₃ соответственно. В каждом из построенных треугольников один угол является прямым (так как проведена перпендикулярная прямая), а два других угла связаны с половинными углами исходного треугольника. Нам нужно найти эти острые углы для каждого из трёх случаев и показать, что набор углов во всех трёх треугольниках одинаков.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим первый треугольник, образованный у вершины A. Пусть биссектриса угла A делит его на два равных угла по β₁/2. Прямая, проведённая через вершину A перпендикулярно к этой биссектрисе, образует с сторонами треугольника AB и AC новые углы. Однако условие говорит об отрезках этих прямых вместе со сторонами данного треугольника . Это означает, что мы рассматриваем треугольники, которые «отсекаются» этими перпендикулярами от сторон или примыкают к ним. Более точная геометрическая интерпретация: пусть прямая l_A проходит через A перпендикулярно биссектрисе AA′. Она пересекает продолжения сторон AB и AC (или сами стороны, в зависимости от формы треугольника, но для общего случая удобнее считать, что она образует треугольник с основанием на одной из сторон или между сторонами).

Давайте разберём углы конкретного треугольника, например, того, который примыкает к стороне BC? Нет, условие гласит: «Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника». Обычно это означает, что каждая такая прямая отсекает от исходного треугольника (или достраивает до него) малый треугольник у соответствующей вершины. Рассмотрим треугольник у вершины A. Его вершины — это A и две точки пересечения прямой l_A со сторонами AB и AC? Если прямая перпендикулярна биссектрисе, то она симметрична относительно биссектрисы? Нет.

Вспомним свойство: внешняя биссектриса угла треугольника перпендикулярна внутренней. Значит, прямая, проведённая через вершину перпендикулярно внутренней биссектрисе, совпадает с внешней биссектрисой этого угла. Таким образом, задача сводится к тому, что через каждую вершину проведена внешняя биссектриса. Эти внешние биссектрисы вместе со сторонами треугольника образуют три новых треугольника. Рассмотрим один из них, например, тот, который образован внешней биссектрисой угла A и сторонами AB и AC? Нет, внешняя биссектриса не пересекает стороны AB и AC внутри отрезков, она лежит вне угла A.

Перечитаем внимательно: «Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника». Скорее всего, речь идёт о треугольниках, основания которых лежат на сторонах исходного треугольника, а вершины — в точках пересечения проведённых прямых с другими сторонами или их продолжениями. Но есть более простая трактовка, часто встречающаяся в таких задачах: рассматриваются треугольники, образованные стороной исходного треугольника и двумя отрезками проведённых прямых. Например, сторона BC и отрезки прямых, проведённых через B и C? Нет, прямые проводятся через каждую вершину.

Давайте рассмотрим стандартную конфигурацию. Пусть через вершину A проведена прямая m_a⊥l_a (где l_a — биссектриса). Эта прямая m_a является внешней биссектрисой угла A. Аналогично m_b и m_c — внешние биссектрисы при вершинах B и C. Три внешние биссектрисы треугольника попарно пересекаются, образуя новый треугольник (экстртреугольник). Но условие говорит: «Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника». Это может означать, что мы берём сторону, например BC, и прямые, проведённые через B и C. Они пересекаются в некоторой точке P. Тогда образуется треугольник PBC. Углы этого треугольника нужно сравнить с углами аналогичных треугольников QCA и RAB.

Рассмотрим треугольник PBC, где P — точка пересечения внешних биссектрис углов B и C.

Угол при вершине P: В треугольнике PBC сумма углов равна 180^°. Углы при основании B и C являются половинами внешних углов исходного треугольника ABC. Внешний угол при вершине B равен 180^°-β₂. Следовательно, угол ∠PBC=180^°-β₂/2=90^°-β₂/2. Аналогично, ∠PCB=90^°-β₃/2.

Тогда угол ∠BPC=180^°-(∠PBC+∠PCB)=180^°-(90^°-β₂/2+90^°-β₃/2)=β₂+β₃/2.

Так как β₁+β₂+β₃=180^°, то β₂+β₃=180^°-β₁. Значит, ∠BPC=180^°-β₁/2=90^°-β₁/2.

Итак, углы треугольника PBC равны:

• ∠PBC=90^°-β₂/2
• ∠PCB=90^°-β₃/2
• ∠BPC=90^°-β₁/2

Теперь рассмотрим второй треугольник QCA, образованный стороной AC и внешними биссектрисами углов A и C. По аналогии, его углы будут:

• ∠QAC=90^°-β₁/2
• ∠QCA=90^°-β₃/2
• ∠AQC=90^°-β₂/2

Сравним наборы углов. Набор углов первого треугольника: {90^°-β₁/2,90^°-β₂/2,90^°-β₃/2}.

Набор углов второго треугольника: {90^°-β₁/2,90^°-β₂/2,90^°-β₃/2}.

Набор углов третьего треугольника RAB будет таким же: {90^°-β₁/2,90^°-β₂/2,90^°-β₃/2}.

Таким образом, все три треугольника имеют одинаковые наборы углов, значит, они подобны, и их углы соответственно равны.

Проверка.

Проверим логику на примере равнобедренного прямоугольного треугольника с углами 45^°,45^°,90^°.

Пусть β₁=90^°,β₂=45^°,β₃=45^°.

Треугольник PBC (при гипотенузе BC):

∠PBC=90^°-45^°/2=67.5^°.

∠PCB=90^°-45^°/2=67.5^°.

∠BPC=90^°-90^°/2=45^°.

Сумма: 67.5+67.5+45=180. Верно.

Треугольник QCA (при катете AC):

∠QAC=90^°-90^°/2=45^°.

∠QCA=90^°-45^°/2=67.5^°.

∠AQC=90^°-45^°/2=67.5^°.

Набор углов тот же самый: 45^°,67.5^°,67.5^°. Доказательство корректно.