ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 422: Теорема Пифагора

План решения.

Вспомним признаки равенства треугольников. Второй признак (по двум сторонам и углу между ними) требует, чтобы угол был именно между данными сторонами. Если же угол лежит напротив одной из сторон или не является включённым, то равенство двух сторон и одного угла не гарантирует равенство треугольников. Нам нужно привести пример таких неравных треугольников.

Вычисление и построение примера.

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, где все стороны равны: AB=BC=CA. Продлим сторону AB за точку B до некоторой точки D. Теперь сравним два треугольника: △ABC и △DBC.

• Сторона BC у них общая.
• Сторона AC в первом треугольнике равна стороне DC? Нет, это неверно для произвольной точки D. Давайте возьмём другой подход, более наглядный, как в классическом примере с равнобедренным треугольником.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC с основанием AC (AB=BC). Проведём медиану BD к основанию AC. Тогда AD=DC, BD — общая, углы при основании равны. Это не подходит под условие «две стороны и угол» в разных конфигурациях. Вернёмся к идее из ключа, но уточним её. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Пусть точка D лежит на продолжении стороны AB так, что BD=AB. Тогда рассмотрим треугольники ADC и DBC? Нет, они не имеют общих двух сторон. Давайте построим контрпример напрямую. Возьмём треугольник ABC со сторонами a,b и углом β (против стороны b). Возьмём другой треугольник A′B′C′ со сторонами a′,b′ и углом β′. Условие: a=a′, b=b′, β=β′. Но угол β может быть не включённым. Простейший пример: Равнобедренный треугольник ABC (AB=AC). Проведем биссектрису AD. Треугольники ABD и ACD равны. Это не то. Используем свойство синусов. Пусть в △ABC сторона c=5, сторона b=4, угол $C=30^ \textdegree . По теореме синусов можно найти другие элементы. Может существовать второй треугольник с теми же c, b и углом C , но другим углом B (дополняющим до180^ \textdegree ), если угол C острый и c>b \text{sin } C $. Однако, для школьного уровня проще всего использовать геометрическую конструкцию. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB=AC. Пусть M — середина основания BC. Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам. Попробуем следующий вариант, часто встречающийся в задачах: Треугольник ABC и треугольник ABD имеют общую сторону AB. Пусть AC=AD и nangleB=nangleB (общий). Если точка C и D лежат по разные стороны от высоты, опущенной из A на прямую BC, то треугольники могут быть не равны, если углы при вершине A разные? Нет, тогда BC и BD будут разными. Ключевой момент: угол должен быть не включённым между двумя известными сторонами. Пример: Треугольник ABC со сторонами AB=5,AC=3 и углом nangle B = 30$^ \textdegree . Треугольник A'B'C'со сторонами A'B'=5, A'C'=3и углом\nangle B' = 30^ \textdegree . В таком случае угол B лежит против стороны AC . По теореме синусов\frac{AC}{ \text{sin } B} = \frac{AB}{ \text{sin } C}. Значит, \text{sin } $C = \frac{AB \text{sin }$ B}{AC} = \frac{5 \text{sin } 30^ \textdegree}{3} = 2.5/3 \textapprox 0.83. Угол C может быть острым ( \textarcsin } 0.83) или тупым (180^ $\textdegree - \textarcsin $} 0.83$). Эти два случая дают два различных треугольника, которые не равны друг другу, хотя имеют две равные стороны и один равный угол (лежащий против меньшей из этих сторон).

Проверка.

Действительно, если угол не является включённым между двумя заданными сторонами, то задача имеет два решения (или ни одного, или одно), и эти решения соответствуют разным формам треугольников. Следовательно, утверждение «треугольники равны» ложно. Они могут быть неравными.