ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 420: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Дано: в треугольниках ABC и A1B1C1 угол ∠A=∠A1, сторона AC=A1C1 (прилежащая к углу), а также сумма двух других сторон равна: AB+BC=A1B1+B1C1. Нужно доказать, что △ABC=△A1B1C1.
Идея состоит в том, чтобы использовать вспомогательное построение. Продолжим сторону AB за точку B на отрезок BD, равный стороне BC. Аналогично поступим во втором треугольнике: продолжим A1B1 за точку B1 на отрезок B1D1, равный B1C1. Это позволит нам создать новые треугольники, которые будут равны по первому признаку равенства треугольников.
Ход решения.
Рассмотрим построенные треугольники ADC и A1D1C1.
- По условию задачи AC=A1C1.
- Угол ∠DAC совпадает с углом ∠A исходного треугольника, а ∠D1A1C1 — с ∠A1. Так как по условию ∠A=∠A1, то и ∠DAC=∠D1A1C1.
- Вычислим длины сторон AD и A1D1. По построению AD=AB+BD, а так как мы выбрали BD=BC, то AD=AB+BC. Аналогично для второго треугольника: A1D1=A1B1+B1D1=A1B1+B1C1. Поскольку по условию суммы сторон равны (AB+BC=A1B1+B1C1), получаем, что AD=A1D1.
Таким образом, в треугольниках ADC и A1D1C1 две стороны и угол между ними соответственно равны (AC=A1C1, ∠A=∠A1, AD=A1D1). Следовательно, △ADC=△A1D1C1 по первому признаку равенства треугольников.
Завершение доказательства.
Из равенства треугольников ADC и A1D1C1 следует равенство соответствующих элементов: ∠D=∠D1 и ∠ACD=∠A1C1D1.
Вернемся к исходным треугольникам. Рассмотрим равнобедренные треугольники DBC и D1B1C1 (так как BD=BC и B1D1=B1C1 по построению). В них углы при основании равны: ∠BDC=∠BCD и ∠B1D1C1=∠B1C1D1. Заметим, что ∠BDC — это тот же самый угол ∠D, а ∠B1D1C1 — угол ∠D1. Мы уже установили, что ∠D=∠D1, значит, ∠BCD=∠B1C1D1.
Теперь найдем угол ∠ACB исходного треугольника: ∠ACB=∠ACD-∠BCD. Для второго треугольника: ∠A1C1B1=∠A1C1D1-∠B1C1D1. Так как вычитаемые и уменьшаемые равны, то и разности равны: ∠ACB=∠A1C1B1.
В итоге у нас есть: ∠A=∠A1 (по условию), сторона AC=A1C1 (по условию) и ∠ACB=∠A1C1B1 (доказано выше). По второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла) заключаем, что △ABC=△A1B1C1. Что и требовалось доказать.
Доказано через построение дополнительных точек D и D_1 на продолжениях сторон AB и A_1B_1, использование первого признака равенства для больших треугольников ADC и A_1D_1C_1, а затем переход ко второму признаку для исходных треугольников.
Ключевая идея метода — искусственное создание треугольников, где известная сумма сторон становится одной целой стороной. Это стандартный прием для задач на неравенство или сумму сторон.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 420 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 420?
Краткий ответ: Доказано через построение дополнительных точек D и D_1 на продолжениях сторон AB и A_1B_1, использование первого признака равенства для больших треугольников ADC и A_1D_1C_1, а затем переход ко второму признаку для исходных треугольников.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.