ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 416: Теорема Пифагора

Рассмотрим пять прямых, пересекающихся в одной точке. При пересечении двух прямых образуются вертикальные углы, которые равны между собой. В данной задаче пять прямых делят плоскость на десять лучей, исходящих из общей точки.

Обозначим углы между соседними лучами как α_1,α_2,…,α₁₀ по порядку вокруг точки пересечения. Сумма всех этих десяти углов составляет полный оборот, то есть 360^°. ∑10i=1α_i=360^° По условию задачи нам нужно найти сумму пяти конкретных углов: ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5. Обычно в таких задачах под углами 1–5 подразумеваются углы, образованные парами вертикальных лучей или смежные с ними так, что они не перекрывают друг друга и покрывают половину плоскости, либо это набор углов, каждый из которых равен сумме некоторых α_i. Однако стандартная интерпретация рисунка к задаче №416 (где углы 1, 2, 3, 4, 5 — это углы между соседними прямыми, выбранные таким образом, что они являются частью разложения полного угла) требует внимательного анализа геометрии.

Давайте посмотрим на структуру углов. Если мы возьмем одну полуплоскость, ограниченную любой из данных прямых, то сумма углов, лежащих в этой полуплоскости и имеющих общую вершину, равна 180^°. Углы 1, 2, 3, 4 и 5 на типичном чертеже к этой задаче расположены так, что они являются смежными и вместе составляют развернутый угол относительно одной из прямых, или же их можно сгруппировать через вертикальные углы. Например, если углы 1, 3, 5 лежат по одну сторону от некоторой прямой, а 2, 4 — по другую, но при этом все они «вписаны» в полуплоскость, их сумма будет 180^°. Более строгий вывод: пусть прямые образуют углы x_1,x_2,x_3,x_4,x₅ последовательно вокруг точки. Тогда вертикальные им будут те же самые величины. Сумма всех углов вокруг точки равна 2(x₁+x₂+x₃+x₄+x₅)=360^°. Следовательно, сумма самих уникальных углов между соседними прямыми x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=180^°. Именно эти углы обычно и обозначаются цифрами 1–5 на рисунке.