ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 418: Теорема Пифагора

План доказательства.

Для начала выберем любые три точки из шести данных и обозначим их A, B и C. По условию задачи, прямая, проходящая через любые две точки, содержит ещё одну точку. Это означает, что если мы возьмём точки A и B, то третья точка (например, C) должна лежать на прямой AB. Таким образом, мы можем утверждать, что существует хотя бы одна прямая, содержащая три данные точки. Обозначим эту прямую как d. Наша цель — доказать, что все остальные три точки также лежат на этой прямой d.

Вычисление и логический вывод.

Предположим противное: пусть существует точка P из оставшихся четырёх точек, которая не лежит на прямой d. Рассмотрим прямую, проходящую через точку P и любую точку с прямой d, например, точку A. Эта прямая называется PA. По условию задачи, прямая PA должна содержать третью точку из нашего набора шести точек. Так как точка P вне прямой d, а точка A на ней, то любая другая точка на прямой PA не может совпадать с точками на прямой d (кроме A), иначе она тоже была бы на d, что противоречит предположению о том, что P вне d. Однако, давайте посмотрим внимательнее. Если прямая PA содержит третью точку Q, то либо Q лежит на d, либо нет.

Если Q лежит на d, то прямая PA пересекает прямую d в двух точках (A и Q). Две различные прямые могут пересекаться только в одной точке. Следовательно, прямая PA совпадает с прямой d. Но тогда точка P лежит на d, что противоречит нашему предположению. Значит, точка Q не может лежать на d.

Теперь рассмотрим случай, когда третья точка Q на прямой PA не лежит на d. Тогда у нас есть три точки P,A,Q, лежащие на одной прямой PA, и ни одна из них (кроме A) не лежит на d. Аналогично, рассмотрим прямую PB. Она должна содержать третью точку R. Если R лежит на d, то аналогично предыдущему рассуждению, прямая PB совпадает с d, и P попадает на d. Противоречие. Значит, R не на d.

Более строгий путь: Пусть A,B,C∉d? Нет, по построению A,B,C∉d невозможно, так как они определяют d. Пусть A,B,C∉d неверно. Пусть A,B,C∉d... Стоп. У нас есть три точки A,B,C на прямой d. Возьмём четвёртую точку D. Предположим, D∉d. Прямая AD должна содержать пятую точку E. Точка E не может быть B или C, так как B,C∉AD (иначе AD=d). Значит, E — это новая точка. Теперь у нас есть прямая AD, содержащая A,D,E. И прямая BD, содержащая B,D и какую-то третью точку F. Точка F не может быть A или E (так как A,E,D коллинеарны, а B нет). Значит, F — шестая точка. Теперь рассмотрим прямую CD. Она содержит C,D и третью точку. Эта третья точка должна быть среди A,B,E,F. Если это A, то C,D,A коллинеарны →D∉d противоречие с тем, что A,C∉d? Нет, A,C∉d ложь, A,C∉d верно. A,C∉d верно. Если C,D,A коллинеарны, то прямая AC совпадает с AD. Но AC=d. Значит AD=d, откуда D∉d. Противоречие. Аналогично для B. Остались E и F. Если третья точка на CD это E, то C,D,E коллинеарны. Мы знаем, что A,D,E коллинеарны. Значит, прямая DE проходит через A и C. То есть DE=AC=d. Тогда D∉d. Противоречие. Если третья точка это F, то C,D,F коллинеарны. Знаем, что B,D,F коллинеарны. Значит, прямая DF проходит через B и C. То есть DF=BC=d. Тогда D∉d. Противоречие.

Таким образом, предположение о существовании точки D, не лежащей на прямой d, приводит к противоречию во всех возможных случаях распределения остальных точек. Следовательно, все шесть точек должны лежать на одной прямой d.

Проверка.

Логика опирается на аксиому единственности прямой, проходящей через две точки, и условие задачи о наличии третьей точки на каждой такой прямой. Мы показали, что наличие трёх точек на прямой d фиксирует эту прямую. Любая попытка разместить четвёртую точку вне d требует наличия дополнительных точек на лучах, исходящих из этой внешней точки к точкам на d, что неизбежно возвращает внешнюю точку обратно на d или создаёт конфликт с количеством имеющихся точек (всего 6). В нашем случае 6 точек достаточно, чтобы закрыть все варианты и получить противоречие при допущении «не все на одной прямой».