ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 419: Теорема Пифагора

План решения.

Для доказательства того, что прямая C₁C₂ проходит через середину отрезка AB, обозначим эту середину точкой O. Нам нужно показать, что точки C₁, O и C₂ лежат на одной прямой. Это можно сделать, доказав равенство треугольников AOC₁ и BOC₂. Если эти треугольники равны, то соответствующие углы при вершине O будут равны, а так как они являются вертикальными (или смежными в зависимости от расположения), это подтвердит коллинеарность точек.

Ход доказательства.

Пусть O — середина отрезка AB. Тогда по определению середины отрезка имеем:

Рассмотрим два треугольника: △AOC₁ и △BOC₂. В них есть следующие равные элементы:

• AO=BO (так как O — середина AB);
• ∠OAC₁=∠OBC₂ (по условию задачи дано, что ∠BAC₁=∠ABC₂, а лучи AO и BO лежат на прямой AB);
• AC₁=BC₂ (по условию задачи).

Следовательно, △AOC₁≅△BOC₂ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Заключение и проверка.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠AOC₁=∠BOC₂. Поскольку точки C₁ и C₂ лежат по разные стороны от прямой AB, а точка O лежит на самой прямой AB, углы ∠AOC₁ и ∠BOC₂ являются вертикальными углами для лучей OC₁ и OC₂ относительно прямой AB только в том случае, если C_1,O,C₂ лежат на одной прямой. Более строго: сумма углов ∠AOC₁+∠C₁OB=180^° (смежные). Но мы знаем, что ∠AOC₁=∠BOC₂. Значит, ∠BOC₂+∠C₁OB=180^°. Это означает, что угол ∠C₁OC₂ является развернутым (180^°). Следовательно, точки C₁, O и C₂ лежат на одной прямой. Таким образом, прямая C₁C₂ проходит через точку O, которая является серединой отрезка AB. Что и требовалось доказать.