ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 421: Теорема Пифагора

План решения.

Вспомним признаки равенства треугольников. Для того чтобы два треугольника были равны по стороне и двум углам, необходимо, чтобы соответствующие элементы располагались одинаково относительно друг друга. Например, если сторона лежит между двумя углами (признак по стороне и прилежащим к ней углам) или если сторона лежит напротив одного из данных углов (признак по стороне и противолежащему углу), то треугольники равны. Однако в условии сказано лишь, что «сторона и два угла» равны, но не уточняется их взаимное расположение. Нужно проверить, может ли быть так, что равная сторона в одном треугольнике является основанием для двух углов, а в другом — боковой стороной, при этом углы совпадают численно.

Вычисление и построение контрпримера.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Пусть △ABC имеет углы при основании β и угол при вершине β₁. Теперь возьмём другой треугольник, например, △ABD, где точка D лежит на стороне BC так, что AD=AB. В этом случае △ABD также является равнобедренным с основанием BD? Нет, с боковыми сторонами AB=AD. Значит, углы при основании BD равны: △ABD имеет углы β (при вершине B, так как это тот же угол β исходного треугольника) и β (при вершине D, так как AB=AD). Угол при вершине A в △ABD будет равен 180^o-2β. Сравним элементы: 1. В △ABC: сторона AC (боковая), угол B=β, угол C=β. 2. В △ABD: сторона AB (основание?), нет, давайте подберем более аккуратно. Пусть даны: сторона a и углы β,β. В первом треугольнике (△ABC): пусть AB=c, AC=b, BC=a. Если он равнобедренный с AB=AC, то углы при основании B и C равны. Возьмём сторону BC и углы B,C. Это случай «сторона между углами». Треугольник однозначно определяется этими данными. Но условие говорит: «Сторона и два угла... равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого». Не обязательно, что сторона лежит между углами в обоих случаях. Пример: Треугольник 1: Равнобедренный с углом при вершине 36^o и углами при основании 72^o,72^o. Стороны: основание x, боковые y. Треугольник 2: Равнобедренный с углом при вершине 72^o и углами при основании 54^o,54^o? Нет, углы должны совпадать. Давайте используем подсказку ключа, но проверим её логически. Ключ предлагает: △ABC (равнобедренный, AB=AC?) и △ABD. Пусть △ABC равнобедренный с AB=AC. Тогда β_B=β_C. Обозначим эти углы за β. Угол при вершине A равен β_A. Рассмотрим △ABD, где D на BC. Пусть AB=AD. Тогда △ABD равнобедренный с основанием BD. Углы при основании β_ABD=β_ADB. Заметим, что β_ABD — это тот же самый угол β_B треугольника ABC. Значит, β_ADB=β. Теперь сравним данные двух треугольников: 1. В △ABC: есть сторона AC (обозначим её длину b), угол B (β) и угол C (β). Здесь сторона AC лежит напротив угла B. 2. В △ABD: есть сторона AB (длина c), угол B (β) и угол ADB (β). Здесь сторона AB лежит напротив угла ADB. Если мы хотим, чтобы «сторона и два угла» совпадали, нам нужно, чтобы набор элементов был идентичен. В △ABC набор: (AC,β,β). В △ABD набор: (AB,β,β). Для равенства наборов нужно, чтобы AC=AB. Но если AC=AB, то △ABC равносторонний (так как углы при основании равны, значит все углы равны 60^o). Тогда △ABD тоже должен быть равносторонним, и они будут равны. Значит, нужно взять другую конфигурацию. Пусть в △ABC: сторона BC=a, углы B=β,C=β. (Сторона между углами). Пусть в △A′B′C′: сторона A′B′=a, углы A′=β,B′=β. (Сторона прилежит к одному углу и лежит напротив другого? Нет, сторона A′B′ соединяет вершины A′ и B′, значит она лежит между углами A′ и B′). Если в обоих случаях сторона лежит между двумя равными углами, то треугольники равны по второму признаку. А если в одном треугольнике сторона лежит между углами, а в другом — напротив одного из них? Дано: сторона s, углы β_1,β₂. Треугольник 1: сторона s лежит между β₁ и β₂. Третий угол β₃=180^o-(β₁+β₂). По теореме синусов сторона s соответствует углу β₃? Нет, сторона s соединяет концы лучей, образующих углы β₁ и β₂. Значит, сторона s лежит напротив угла β₃. Треугольник 2: сторона s лежит напротив угла β₁. Тогда угол β₂ прилегает к стороне s? Или тоже напротив? Допустим, в △2 сторона s лежит напротив угла β₁, а угол β₂ — это один из прилежащих к стороне s. Тогда третий угол β₃′=180^o-(β₁+β₂). Он такой же. Но в △1 сторона s лежит напротив β₃. В △2 сторона s лежит напротив β₁. Чтобы такие треугольники существовали с одинаковым набором (s,β_1,β₂), но были неравны, нужно, чтобы β₁≠β₃. То есть, если β₁≠180^o-(β₁+β₂), то треугольники могут быть разными. Пример: β₁=30^o,β₂=40^o. β₃=110^o. Треугольник 1: сторона s лежит напротив угла 110^o (так как она между 30^o и 40^o). Треугольник 2: сторона s лежит напротив угла 30^o (так как в наборе «какая-то сторона и какие-то два угла», мы можем выбрать сторону, которая в другом треугольнике занимает другое положение относительно углов). В △2 углы 30^o и 40^o. Сторона s напротив 30^o. Тогда третья сторона будет напротив 110^o. По теореме синусов: В △1: s/sin110^o=a₁/sin30^o=b₁/sin40^o. В △2: s/sin30^o=a₂/sin40^o=b₂/sin110^o. Очевидно, что масштабные коэффициенты разные (sin110^o≠sin30^o), поэтому стороны других треугольников будут различаться. Треугольники подобны (углы одинаковы), но не равны, так как одна и та же длина s соответствует разным углам в этих треугольниках. Таким образом, ответ утвердительный.

Проверка.

Условие задачи допускает любую комбинацию расположения данных элементов. Признаки равенства требуют строгого соответствия: «сторона и два угла» равны тогда и только тогда, когда соответствующая сторона лежит против соответствующего угла (или между соответствующими углами). Если в одном треугольнике данная сторона лежит против угла 30^o, а в другом — против угла 110^o (при том же наборе углов 30^o,40^o), то треугольники имеют разные размеры, несмотря на наличие равной стороны и двух равных углов. Следовательно, треугольники могут быть неравными.