ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 427: Теорема Пифагора

План доказательства.

Рассмотрим треугольник ABC с медианой AM, проведённой из вершины A к стороне BC. Нам нужно связать величину угла A (∠BAC) с длиной медианы AM и половиной стороны BC (то есть отрезком BM=MC).

Воспользуемся методом достраивания треугольника до параллелограмма. Продлим медиану AM за точку M на расстояние, равное самой медиане, то есть построим точку D так, что MD=AM. Соединим точки B и D, а также C и D.

Вычисление и логический вывод.

1. Рассмотрим четырёхугольник ABDC. Его диагонали AD и BC пересекаются в точке M. По условию M — середина BC (так как AM — медиана), и по нашему построению M — середина AD (так как AM=MD). Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

2. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому BD=AC и CD=AB.

3. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Его стороны: AB, BD (равна AC) и AD (равна 2AM).

4. Угол ∠ABD связан с углом ∠BAC следующим образом: так как AB∥CD и AC∥BD, то сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180^°. Однако более простой путь — рассмотреть треугольник ABC и его связь с прямоугольным треугольником через теорему Пифагора или свойства медианы.

Давайте используем более прямой подход через сравнение сторон в треугольнике ABD и связь с углом A.

Заметим, что в треугольнике ABD сторона AD=2AM. Стороны AB и BD равны сторонам исходного треугольника ABC (BD=AC).

Сравним квадрат длины медианы с четвертью квадрата основания. Это можно сделать, используя формулу для медианы или геометрические соображения.

Рассмотрим случай, когда угол A прямой (90^°). Тогда треугольник ABC прямоугольный. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть если ∠A=90^°, то AM=1/2BC=BM=MC.

Теперь докажем остальные случаи, опираясь на этот факт и монотонность зависимости.

Пусть мы фиксируем стороны AB и AC и меняем угол A. Длина медианы AM зависит от угла A. Формула длины медианы: m2a=2b²+2c²-a²/4 где a=BC, b=AC, c=AB, m_a=AM.

Нам нужно сравнить m_a с a/2. Сравним их квадраты:

• m2a против (a/2)²=a²/4.

Подставим выражение для m2a:

Умножим обе части неравенства на 4 (знак не меняется):

По теореме косинусов для треугольника ABC: a²=b²+c²-2bccosA

Подставим это в наше сравнение b²+c² vs a²:

Если b²+c²>a², то подставляя a², получаем: b²+c²>b²+c²-2bccosA 0>-2bccosA 2bccosA>0 Так как b,c>0, то cosA>0. Значит, угол A острый. И наоборот, если угол A острый (cosA>0), то a²<b²+c², следовательно a²/4<b²+c²-a²+a²/2.../... — давайте проще вернёмся к сравнению медианы.

Из условия b²+c²>a² следует, что 2b²+2c²-a²>a², значит 4m2a>a², откуда m_a>a/2.

Аналогично:

• Если b²+c²=a², то cosA=0, угол A прямой. Тогда 4m2a=a², то есть m_a=a/2.
• Если b²+c²<a², то cosA<0, угол A тупой. Тогда 4m2a<a², то есть m_a<a/2.

Проверка.

Проверим на примере равностороннего треугольника со стороной a. Угол 60^° (острый). Медиана m=a3/2≈0.866a. Половина стороны a/2=0.5a. 0.866a>0.5a, условие «медиана больше половины стороны» выполнено для острого угла.

Проверим на примере прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, гипотенуза 5. Угол между катетами 90^° (прямой). Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы: m=2.5. Половина стороны (гипотенузы) 5/2=2.5. m=a/2, условие выполнено.

Проверим на примере тупоугольного треугольника. Пусть стороны 1,1, угол 120^°. Третья сторона a=1+1-2cos(120)=2-2(-0.5)=3≈1.732. Медиана к этой стороне: m²=2(1)²+2(1)²-(3)²/4=4-3/4=0.25, m=0.5. Половина стороны 3/2≈0.866. 0.5<0.866, то есть медиана меньше половины стороны. Условие выполнено.