ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 428: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Вера Лапина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC взята такая точка M, что ∠MBC=30°, ∠MCB=10°. Найдите угол AMC, если ∠BAC=80°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся методом построения вспомогательных точек и свойствами равнобедренных треугольников. Сначала определим углы при основании данного треугольника ABC.
Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то углы при основании равны: ∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC/2=180°-80°/2=50°.
Известно, что точка M находится внутри треугольника, и даны углы: ∠MBC=30° и ∠MCB=10°. Найдем угол ∠BMC: ∠BMC=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-(30°+10°)=140°.
Теперь применим метод симметрии или построения правильного треугольника. Рассмотрим точку O — центр описанной окружности вокруг треугольника BMC? Нет, проще использовать классический прием для таких задач («задача Лангли» или её вариации).
Построим на стороне BC внутрь треугольника ABC правильный треугольник KBC. Тогда KB=KC=BC и все его углы равны 60°. Однако этот путь может быть сложным. Попробуем другой геометрический подход через равенство треугольников.
Рассмотрим треугольник ABM и ACM. Нам нужно найти ∠AMC. Обозначим искомый угол за x. Вспомним свойство: если в равнобедренном треугольнике с углом при вершине 80° взять точку так, чтобы углы при основании были 30° и 10°, часто возникает связь с центром описанной окружности или точкой пересечения высот.
Давайте проверим гипотезу, что ответ 70°. Если ∠AMC=70°, то ∠AMB=360°-140°-70°=150°.
Более строгое решение: Проведем отрезок AM. Пусть мы хотим доказать, что △ABM≅△ACM? Нет, они не равны, так как BM≠CM (углы при основании △BMC разные: 30° и 10°, значит стороны напротив них тоже разные: CM>BM).
Используем тригонометрическую формулу синусов для треугольников ABM, ACM и BMC.
В △BMC: по теореме синусов BM/sin10°=CM/sin30°=BC/sin140°. Отсюда BM=BC·sin10°/sin40° (так как sin140°=sin40°), а CM=BC·sin30°/sin40°.
В △ABC: AB=AC=BC·sin50°/sin80°.
Рассмотрим △ABM. Угол ∠ABM=∠ABC-∠MBC=50°-30°=20°. Применим теорему синусов к △ABM: BM/sin∠BAM=AB/sin∠AMB. Это сложно выразить напрямую. Лучше рассмотреть △ACM. Угол ∠ACM=∠ACB-∠MCB=50°-10°=40°.
Применим теорему синусов к △ACM: CM/sin∠CAM=AC/sin∠AMC. Подставим выражения для CM и AC:
BC·sin30°/sin40°/sin∠CAM=BC·sin50°/sin80°/sinxСокращаем BC:
sin30°/sin40°·sin∠CAM=sin50°/sin80°·sinxЗаметим, что ∠CAM=80°-∠BAM. Также сумма углов в △ACM: ∠CAM+40°+x=180°⇒∠CAM=140°-x.
Подставим ∠CAM:
sin30°/sin40°·sin(140°-x)=sin50°/sin80°·sinxУпростим правую часть, используя sin80°=2sin40°cos40° и sin50°=cos40°:
Правая часть =cos40°/2sin40°cos40°·sinx=1/2sin40°sinxЛевая часть:
Левая часть =0.5/sin40°·sin(140°-x)=1/2sin40°sin(140°-x)Приравниваем левую и правую части:
1/2sin40°sin(140°-x)=1/2sin40°sinxОтсюда следует:
sin(140°-x)=sinxЭто уравнение имеет два случая решений:
- 140°-x=x⇒2x=140°⇒x=70°.
- 140°-x=180°-x⇒140°=180° (невозможно).
Таким образом, единственное возможное значение угла ∠AMC равно 70°.
70°
Задача решается методом тригонометрии (теорема синусов). Ключевой момент — упрощение отношения сторон через двойные углы (sin80°=2sin40°cos40°), что приводит к простому тригонометрическому уравнению sin(140°-x)=sinx. Геометрическое решение также возможно через построение центра описанной окружности или симметричных точек, но тригонометрический путь более универсален и менее подвержен ошибкам в построении.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 428 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 428?
Краткий ответ: 70°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.