ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 432: Теорема Пифагора

Для доказательства данного утверждения удобно использовать метод от противного. Нам дано, что в треугольнике ABC сторона AB>AC, а AD — биссектриса угла A. Нужно доказать два факта: ∠ADB>∠ADC и BD>CD. Начнём с сравнения углов.

Доказательство неравенства углов:

1. Предположим обратное: пусть ∠ADB≤∠ADC.
2. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. В них есть общая сторона AD, а также равные углы при вершине A: ∠BAD=∠CAD, так как AD — биссектриса.
3. Если бы ∠ADB=∠ADC, то по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) треугольники ABD и ACD были бы равны. Тогда соответствующие стороны AB и AC тоже были бы равны (AB=AC). Но это противоречит условию задачи, где сказано, что AB>AC.
4. Если бы ∠ADB<∠ADC, то в треугольниках ABD и ACD мы имеем общую сторону AD, равные углы ∠BAD=∠CAD и неравные углы ∠ADB<∠ADC. Согласно теореме о связи между элементами треугольников (или свойству биссектрисы), если угол при основании меньше, то противолежащая ему боковая сторона тоже меньше. То есть из ∠ADB<∠ADC следовало бы AB<AC. Это снова противоречит условию AB>AC.
5. Таким образом, предположение неверно, и верно утверждение: ∠ADB>∠ADC.

Доказательство неравенства отрезков:

1. Теперь докажем, что BD>CD.
2. Снова применим метод от противного. Предположим, что BD≤CD.
3. Вспомним свойство биссектрисы треугольника: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть BD/CD=AB/AC
4. По условию AB>AC, следовательно, дробь AB/AC>1.
5. Значит, BD/CD>1, откуда следует BD>CD.
6. Если же рассуждать без формулы биссектрисы, используя только геометрию: рассмотрим треугольник ABC. Так как AB>AC, то угол ∠C>∠B (против большей стороны лежит больший угол). Теперь посмотрим на треугольники ABD и ACD. Мы уже доказали, что ∠ADB>∠ADC. Сумма углов в каждом из этих треугольников равна 180^°. Угол ∠B=180^°-∠BAD-∠ADB, а угол ∠C=180^°-∠CAD-∠ADC. Поскольку ∠BAD=∠CAD и ∠ADB>∠ADC, то вычитаемое во втором выражении больше, значит ∠B<∠C. Это согласуется с условием AB>AC. Для сравнения сторон BD и CD можно провести прямую через точку C, параллельную AB, до пересечения с продолжением AD в точке E. Треугольник ACE будет равнобедренным (∠CAE=∠CEA как накрест лежащие и равные исходным), поэтому AC=CE. Из подобия треугольников ABD и ECD (или просто из того, что AB>AC=CE) следует, что BD>CD.

Проверка:

Логика непротиворечива. Если бы AB=AC, то биссектриса была бы медианой и высотой, тогда ∠ADB=∠ADC=90^° и BD=CD. При увеличении AB относительно AC точка D смещается ближе к C, угол ∠ADB становится тупым (или острым, но большим чем ∠ADC), а отрезок BD становится длиннее отрезка CD. Все условия выполнены.