ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 433: Теорема Пифагора

План доказательства.

Нам дан треугольник ABC, в котором биссектриса угла B совпадает с медианой, проведённой к стороне AC. Обозначим эту линию как BM. Значит, BM делит угол ABC пополам (∠ABM=∠CBM) и является медианой, то есть точка M — середина стороны AC (AM=MC). Наша цель — доказать, что боковые стороны равны: AB=BC.

Ход решения (метод удвоения медианы).

Продлим отрезок BM за точку M на расстояние, равное самой медиане. Пусть полученная точка будет D. Таким образом, мы построили точку D так, что BM=MD.

Рассмотрим два треугольника: △ABM и △CDM.

• AM=MC (так как BM — медиана);
• BM=MD (по построению);
• ∠AMB=∠CMD (как вертикальные углы).

Следовательно, △ABM=△CDM по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует:

1. AB=CD (соответствующие стороны);
2. ∠BAM=∠DCM (соответствующие углы).

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Нам нужно найти связь между его сторонами и углами. Вернёмся к условию задачи: BM является биссектрисой угла ABC. Это значит, что ∠ABM=∠CBM.

Так как △ABM=△CDM, то соответствующий угол ∠ABM равен углу ∠CDM (или просто ∠D в треугольнике BCD). Итак, у нас есть цепочка равенств углов: ∠CBM=∠ABM=∠CDM То есть в треугольнике BCD угол при вершине B (∠CBD, он же ∠CBM) равен углу при вершине D (∠CDB, он же ∠CDM).

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, △BCD — равнобедренный с основанием BD, а значит, его боковые стороны равны: BC=CD.

Заключение и проверка.

Мы получили два важных факта: 1. AB=CD (из равенства △ABM и △CDM); 2. BC=CD (из равнобедренности △BCD).

Из этих двух равенств напрямую следует, что AB=BC. Треугольник ABC имеет две равные стороны, следовательно, он является равнобедренным. Теорема доказана.