ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 436: Теорема Пифагора

План доказательства.

Для сравнения периметров треугольников BCH и ABC воспользуемся методом достраивания. Согласно указанию, продолжим сторону BA за точку A до точки D так, чтобы AD=AC. Нам нужно связать длины сторон новых треугольников с исходными данными, используя свойства биссектрисы и перпендикуляра.

Ход решения.

1. Рассмотрим треугольник ADC. По построению AD=AC, значит, он равнобедренный. Пусть AE — биссектриса угла A в исходном треугольнике ABC. Так как AE является биссектрисой угла DAC (смежного или вертикального, в зависимости от расположения, но главное — она делит угол при вершине A пополам относительно симметрии), а также дано, что прямая через A перпендикулярна биссектрисе, то эта прямая является осью симметрии для равнобедренного треугольника ADC? Нет, давайте точнее.
   Биссектриса угла A треугольника ABC делит угол BAC пополам. Прямая l, проходящая через A, перпендикулярна этой биссектрисе. Вспомним свойство: если из вершины угла провести луч, перпендикулярный биссектрисе этого угла, то этот луч является внешней биссектрисой угла. Однако здесь проще использовать симметрию.
   Пусть AM — биссектриса угла A. Тогда △ADM и △ACM равны по двум сторонам и углу между ними (AD=AC, AM общая, углы при вершине A равны, так как AM биссектриса). Следовательно, DM=CM и △ADC симметричен относительно прямой AM. Но нам важна связь с точкой H.
   Давайте последуем подсказке строго: рассмотрим △DHB.
2. Заметим, что точка H лежит на прямой, проходящей через A перпендикулярно биссектрисе угла A. Обозначим эту прямую как AH. Так как BHbotAH, то △ABH прямоугольный.
   Ключевой момент: покажем, что C и D симметричны относительно прямой AH? Или найдем длину DH.
   Воспользуемся тем, что AHbotAM (где AM — биссектриса). Угол между биссектрисой и перпендикуляром к ней равен 90^o. Это сложная геометрия. Давайте проще.
   Продолжим BA до D так, что AD=AC. Рассмотрим △ACD. Он равнобедренный. Биссектриса угла A в △ABC является высотой и медианой к основанию CD только если бы мы рассматривали угол CAD. Но угол CAD смежный с углом CAB? Нет, D лежит на продолжении BA. Значит, △CAD — это треугольник со сторонами AC и AD. Угол CAD=180^o-угла CAB. Биссектриса угла CAB не является биссектрисой угла CAD.
   Однако есть известное свойство: проекция стороны треугольника на внешнюю биссектрису... Давайте вернемся к подсказке про △DHB.
   Покажем, что HC=HD. Если это верно, то задача решается через неравенство треугольника для △DHB.
   Почему HC=HD? Точка H лежит на прямой, перпендикулярной внутренней биссектрисе угла A. Эта прямая является внешней биссектрисой угла A треугольника ABC? Нет, внутренняя и внешняя биссектрисы одного угла взаимно перпендикулярны. Значит, прямая AH действительно совпадает с внешней биссектрисой угла A.
   Свойство внешней биссектрисы: любая точка на внешней биссектрисе угла равноудалена от прямых, содержащих стороны угла. То есть расстояние от H до прямой AB равно расстоянию от H до прямой AC. Но у нас BHbotAH, это не расстояние до стороны.
   Давайте посмотрим на симметрию относительно прямой AH (внешней биссектрисы). Отражение прямой AB относительно внешней биссектрисы дает прямую AC. Следовательно, отражением точки B относительно прямой AH будет некоторая точка B′, лежащая на прямой AC. Но нам нужна точка D на прямой AB.
   Рассмотрим треугольники △ADH и △ACH. AD=AC (по построению). AH — общая сторона. Углы △DAH и △CAH: Прямая AH перпендикулярна внутренней биссектрисе AM. Значит, AH образует равные углы со сторонами угла A? Да, внешняя биссектриса делит внешний угол пополам. Угол между внешней биссектрисой и стороной AB равен (180^o-угла A)/2+угла A/2? Нет. Угол между внутренней биссектрисой и стороной AB равен угла A/2.

   Так как AHbotAM, то угол между AH и AB равен	90^\text{o} - \frac{\text{угла } A}{2}	.
   Аналогично, угол между AH и AC равен	90^\text{o} - \frac{\text{угла } A}{2}	.

   Значит, △ADH=△ACH по первому признаку (две стороны и угол между ними: AD=AC, AH общая, △DAH=△CAH). Следовательно, соответствующие стороны равны: HD=HC.
3. Теперь сравним периметры. Периметр △BCH: P_BCH=BC+CH+HB. Так как CH=DH, то P_BCH=BC+DH+HB. Рассмотрим ломаную B-H-D. Длина отрезка BD меньше суммы длин отрезков BH и HD (неравенство треугольника для △BHD, если точки не коллинеарны, что верно, так как H вне прямой AB). То есть BH+HD>BD. Подставим HD=CH: BH+CH>BD. Добавим к обеим частям неравенства сторону BC: BC+BH+CH>BC+BD. Левая часть — это периметр △BCH. Правая часть: BC+BD. Что такое BD? Точка D лежит на продолжении BA за точку A, и AD=AC. Значит, BD=BA+AD=AB+AC. Тогда правая часть равна BC+AB+AC, что является периметром △ABC.

Вывод.

Мы получили неравенство P_BCH>P_ABC. Таким образом, периметр треугольника BCH больше периметра треугольника ABC.