ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 437: Теорема Пифагора

План доказательства.

Чтобы доказать, что точка H лежит на луче DB, нужно показать два факта: во-первых, что точка H находится на прямой BC (что верно по определению высоты), и во-вторых, что она расположена по ту же сторону от точки D, что и вершина B. Для этого сравним углы △ABD и △ACD, а также воспользуемся свойствами биссектрисы и высот в треугольнике с неравными сторонами. Ключевым шагом будет доказательство того, что угол β=∠B больше угла γ=∠C, так как AB<AC.

Ход решения.

1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию AB<AC. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, ∠C<∠B.
2. Отрезок AD — биссектриса угла A. Значит, ∠BAD=∠CAD=α/2.
3. Рассмотрим внешний угол при вершине D для треугольника ADC. Угол ∠ADB является внешним для △ADC. По теореме о внешнем угле: ∠ADB=∠DAC+∠C=α/2+γ.
4. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов равна 180^°: ∠ADB=180^°-∠B-∠BAD=180^°-β-α/2.
5. Сравним положения точек H и D относительно середины отрезка BC или просто определим знак разности проекций. Более простой геометрический путь: докажем, что ∠ADH>90^° или ∠ADB>90^°? Нет, это не всегда так. Давайте используем свойство: высота из вершины тупого угла падает на продолжение стороны, но здесь мы не знаем тип угла A. Однако, нам важно взаимное расположение D и H на стороне BC.
6. Вспомним известное утверждение (задача 434): биссектриса угла треугольника заключена между медианой и высотой, проведенными из той же вершины, если треугольник не равнобедренный. Но точнее: если AB<AC, то точка D (основание биссектрисы) ближе к вершине B, чем точка M (основание медианы)? Нет, по свойству биссектрисы BD/DC=AB/AC<1, значит BD<DC. То есть D ближе к B.
7. Где лежит высота AH? Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и ACH. BH=ABcosβ, CH=ACcosγ. Так как β>γ (острые углы, или если один тупой, то высота вне, но тогда H вне отрезка BC). Предположим, что треугольник остроугольный для начала. Тогда cosβ<cosγ. Также AB<AC. Сравнение длин BH и CH затруднено напрямую без дополнительных условий.
8. Вернемся к углу ∠ADB. Мы хотим понять, где лежит H относительно D. Точка H лежит на луче DB, если вектор DH сонаправлен с DB. Это эквивалентно тому, что проекция A на BC попадает в полупрямую, начинающуюся в D и идущую через B. Или проще: расстояние от B до H меньше расстояния от B до D? Не обязательно. Нужно проверить порядок точек B,H,D,C или B,D,H,C.
9. Докажем, что ∠ADB>∠ADC. Так как ∠ADB+∠ADC=180^°, то если ∠ADB>90^°, то ∠ADC<90^°. Вычислим разность: ∠ADB-∠ADC=(α/2+γ)-(α/2+β)=γ-β. Поскольку β>γ, то ∠ADB<∠ADC. Значит, ∠ADB<90^° и ∠ADC>90^°.
10. Если ∠ADC>90^°, то в треугольнике ADC угол при вершине D тупой. Высота AH опущена на прямую BC. В тупоугольном треугольнике ADC (где тупой угол при D) основание высоты H, опущенной из вершины A на сторону DC, лежит вне отрезка DC, со стороны тупого угла. То есть точка H лежит на продолжении отрезка CD за точку D.
11. Продолжение отрезка CD за точку D — это именно луч DB (так как D лежит между B и C). Следовательно, точка H лежит на луче DB.

Проверка и вывод.

Мы установили, что так как AB<AC, то ∠B>∠C. Из формул для внешних углов следует, что ∠ADC=∠B+α/2 и ∠ADB=∠C+α/2. Разница ∠ADC-∠ADB=∠B-∠C>0. Значит, ∠ADC>∠ADB. Поскольку их сумма 180^°, то ∠ADC>90^°. В треугольнике ADC угол при вершине D тупой. Основание высоты AH, проведенной к стороне DC, лежит на прямой BC вне отрезка DC, со стороны вершины D. Геометрически это означает, что порядок точек на прямой таков: H,D,C или B,H,D,C? Если H вне DC со стороны D, то H лежит на луче, исходящем из D и проходящем через B. Таким образом, точка H лежит на луче DB. Доказательство завершено.